如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）。

（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？

（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图像与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值。

（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0<t<10）。

如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）。

（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？

（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图像与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值。

（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0<t<10）。

（本题满分10分）
如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

（1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为    ；(3分)
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分)