摘要：13．和你的父母一起来探究.我们知道:“三角形的内角和为1800. 你能否设计出几种不同的方案.证明出这个性质的正确性呢?(画出图形.简要说明理由).把设计出的方案和你的同学交流一下.看谁的更好.
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图形中的全等
一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．我们可以看到图1三角形的三条中位线把这个三角形分成了4个小的三角形，而且这些小的三角形都是全等的．
把三条边都分成三等份，再按图2将分点连起来，可以看到整个三角形被分成了9个小的三角形，而且这些小的三角形也都是全等的．
我们还可以把3条边都分成4等份，再似图1、图2那样将分点连起来，可以看到整个三角形被分成了一个个更小的全等的三角形．
现在请你和你的同学一起参与如下的探究活动：
1．数一数图1、图2中的点、线段和全等三角形的个数，用一张表记录下来；
2．再把3条边都分成4等份，似图1、图2那样将分点连起来，数一数这时的点、线段和全等三角形的个数，也记录在相应的表格中；
3．仔细分析所得到的一些数据，相互交流讨论，想一想其中有什么关系；
4．继续把3条边都分成5，6…等份，似图1、图2那样将分点连起来，数一数这时的点、线段和全等三角形的个数，看看与你的猜想是否符合；
5．将三角形换成四边形，探究一下这时有什么规律．
（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：
=
；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足
=
，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究
的最大值．
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（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：
| AO |
| AD |
| 2 |
| 3 |
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足
| AO |
| AD |
| 2 |
| 3 |
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究
| S四边形BCHG |
| S△AGH |
在“十一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一），爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗？”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是…”．
在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：
表（一）：
表（二）
（1）票价y（元）与里程x（千米）的函数关系式；
（2）游船在静水中的速度和水流速度．
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在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：
表（一）：
| 出发时间 | 到达时间 | |
| 甲→乙 | 8：00 | 9：00 |
| 乙→甲 | 9：20 | 10：00 |
| 甲→乙 | 10：20 | 11：20 |
| … | … | … |
| 里程（千米） | 票价（元） | |
| 甲→乙 | 16 | 38 |
| 甲→丙 | 20 | 46 |
| 甲→丁 | 10 | 26 |
| … | … | … |
（2）游船在静水中的速度和水流速度．
皇帝巧算牛马价
有一年，康熙皇帝微服南巡，在扬州城一个集市上看见两个公差正和几个卖牛马的伙计争执，只听伙计苦苦央求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您买4匹马，6头牛，共48两银子；这位大爷，您买3匹马、5头牛，共38两银子，加起来，一共是86两银子，可是你们只给了80两，还少6两，我们可亏不起这么多呀！”而两位公差不仅不补给银子，反而瞪眼呵斥，强赶牛、马要走．正在这时，身着便服的康熙，走到公差面前说：“买卖公平，这是天经地义的事，一匹马，一头牛都有个价，要想买牛马，该付多少银子，就付多少银子，怎么能仗势欺人！”甲公差见此人竟敢当众管教他们，大怒：“你找死呀！你知道一匹马、一头牛是什么价？”康熙微微一笑，略略思索了一会儿，便说：“我事先不知道，但可以算出来，马每匹6两，牛每头4两！”伙计们和围观的人一听无不惊奇，而公差去恼羞成怒，上前就要抓康熙，此时，康熙从口袋里掏出玉玺，公差一看，方知皇帝驾到，吓得魂飞魄散，连忙跪下求饶．
原来，康熙是一位精通数学的皇帝，他当时是用算术的方法求出马和牛的价格的．
同学们，你不妨用二元一次方程算一算，看与康熙皇帝求得的结果一样吗？ 查看习题详情和答案>>
有一年，康熙皇帝微服南巡，在扬州城一个集市上看见两个公差正和几个卖牛马的伙计争执，只听伙计苦苦央求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您买4匹马，6头牛，共48两银子；这位大爷，您买3匹马、5头牛，共38两银子，加起来，一共是86两银子，可是你们只给了80两，还少6两，我们可亏不起这么多呀！”而两位公差不仅不补给银子，反而瞪眼呵斥，强赶牛、马要走．正在这时，身着便服的康熙，走到公差面前说：“买卖公平，这是天经地义的事，一匹马，一头牛都有个价，要想买牛马，该付多少银子，就付多少银子，怎么能仗势欺人！”甲公差见此人竟敢当众管教他们，大怒：“你找死呀！你知道一匹马、一头牛是什么价？”康熙微微一笑，略略思索了一会儿，便说：“我事先不知道，但可以算出来，马每匹6两，牛每头4两！”伙计们和围观的人一听无不惊奇，而公差去恼羞成怒，上前就要抓康熙，此时，康熙从口袋里掏出玉玺，公差一看，方知皇帝驾到，吓得魂飞魄散，连忙跪下求饶．
原来，康熙是一位精通数学的皇帝，他当时是用算术的方法求出马和牛的价格的．
同学们，你不妨用二元一次方程算一算，看与康熙皇帝求得的结果一样吗？ 查看习题详情和答案>>
在“五一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一），爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是…”．
在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗请你和小明一起求出：
（1）票价y（元）与里程x（千米）的函数关系式；
（2）游船在静水中的速度和水流速度．
表（一）
表（二）：
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在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗请你和小明一起求出：
（1）票价y（元）与里程x（千米）的函数关系式；
（2）游船在静水中的速度和水流速度．
表（一）
| 里程（千米） | 票价（元） | |
| 甲→乙 | 16 | 38 |
| 甲→丙 | 20 | 46 |
| 甲→丁 | 10 | 26 |
| … | … | … |
| 出发时间 | 到达时间 | |
| 甲→乙 | 8：00 | 9：00 |
| 乙→甲 | 9：20 | 10：00 |