摘要：①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系 ②公共弦满足的条件是:连心线垂直平分公共弦 ★热点考点题型探析★ 考点1 直线与圆的位置关系 题型1: 判断直线与圆的位置关系 [例1 ] 设m>0.则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 [解析]圆心到直线的距离为d=.圆半径为. ∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0. ∴直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C [名师指引]判断直线与圆的位置关系的两种方法中.几何法更简便 题型2:求解圆的切线.弦长问题 [例2] 已知圆,是轴上的动点,.分别切圆于两点 (1)若点的坐标为(1.0).求切线.的方程 (2)求四边形的面积的最小值 (3)若.求直线的方程 [解题思路](2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形中观察点满足的条件 解析:(1)设过点的圆的切线方程为.则圆心到切线的距离为1. 或0.切线.的方程分别为和 (2). (3)设与交于点.则 .在中.. 即 设.则 直线的方程为或 [名师指引]转化是本题的关键.如:第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离,第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离.再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离.弦长.切线长问题经常要这种转化 [例3 ] 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2＝25.直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4 (m∈R). (1)证明:不论m取什么实数.直线l与圆恒交于两点, (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. [解析](1)解法1:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. ∵m∈R.∴ 得 2x+y-7=0. x=3. x+y-4=0. y=1. 即l恒过定点A(3.1). ∵圆心C(1.2).|AC|＝＜5. ∴点A在圆C内.从而直线l恒与圆C相交于两点. 解法2:圆心到直线的距离. .所以直线l恒与圆C相交于两点 (2)弦长最小时.l⊥AC.由kAC＝-. ∴l的方程为2x-y-5=0. [名师指引]明确几点: (1)动直线斜率不定.可能经过某定点 (2)直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内.此结论可推广到圆锥曲线 (3)过圆内一点.最长的弦为直径.最短的弦为垂直于直径的弦 题型3: 圆上的点到直线的距离问题 [例4 ]已知圆和直线. (1)若圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1.求半径的取值范围, (2)若圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1.求半径的取值范围, (3)若圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1.求半径的取值范围, [解题思路]解法1采用转化为直线与圆的交点个数来解决,解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手 解法1:与直线平行且距离为1的直线为和 .圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为, (1)圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1 (2)圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1 (3)圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1 解法2:设圆心到直线l的距离为.则 (1)圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1. (2)圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1. (3)圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1 [名师指引]将圆上到直线l的距离等于1的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数,是一种简明的处理方法.对解决这类问题特别有效 [新题导练]

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