摘要：16．如图所示.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.O.M分别是BD1.AA1的中点． (1)求证:MO是异面直线AA1和BD1的公垂线, (2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值, (3)若正方体的棱长为a.求异面直线AA1与BD1的距离． 解析:(1)证明:∵O是BD1的中点. ∴O是正方体的中心. ∴OA＝OA1. 又M为AA1的中点. 即OM是线段AA1的垂直平分线. 故OM⊥AA1. 连结MD1.BM.则可得MB＝MD1. 同理由点O为BD1的中点知MO⊥BD1. 即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线． (2)由于AA1∥BB1. 所以∠B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角． 在Rt△BB1D1中.设BB1＝1.则BD1＝. 所以cos∠B1BD1＝. 故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于. 知.所求距离即为线段MO的长. 由于OA＝AC1＝a.AM＝.且OM⊥AM.所以OM＝a.

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