摘要：15．如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.AB＝BC＝B1B＝a.∠ABC＝90°.D.E分别为BB1.AC1的中点． (1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值, (2)证明:DE为异面直线BB1与AC1的公垂线, (3)求异面直线BB1与AC1的距离． 解析:(1)由于直三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1∥BB1.所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角． 又AB＝BC＝B1B＝a.∠ABC＝90°. 所以A1C1＝a.tan∠A1AC1＝. 即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为. (2)证明:解法一:如图.在矩形ACC1A1中.过点E作AA1的平行线MM1分别交AC.A1C1于点M.M1.连结BM.B1M1.则BB1綊MM1. 又D.E分别是BB1.MM1的中点. 可得DE綊BM. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中. 由条件AB＝BC得BM⊥AC. 所以BM⊥平面ACC1A1. 故DE⊥平面ACC1A1.所以DE⊥AC1.DE⊥BB1. 即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线． 解法二:如图.延长C1D.CB交于点F.连结AF.由条件易证D是C1F的中点.B是CF的中点.又E是AC1的中点.所以DE∥AF. 在△ACF中.由AB＝BC＝BF知AF⊥AC. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1⊥平面ABC. 所以AF⊥AA1.故AF⊥平面ACC1A1. 故DE⊥平面ACC1A1.所以DE⊥AC1.DE⊥BB1. 即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线． 知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离.由于AB＝BC＝a.∠ABC＝90°. 所以DE＝a. 反思归纳:两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线.两条异面直线的公垂线是惟一的.两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线.可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直.而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内.另一条直线与这个平面平行．

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