如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁=AC=BC=2，D、E、F分别是AB、AA₁、CC₁的中点，P是CD上的点．
（1）求直线PE与平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求证：直线PE∥平面A₁BF；
（3）求直线PE与平面A₁BF的距离．

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=

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，D，E分别为BB₁、AC的中点
（Ⅰ）证明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=

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，AA₁=6，E，F分别为AA₁与BC₁的中点．
（1）求证：EF∥底面ABC；
（2）求平面EBC₁与底面ABC所成的锐二面角的大小．

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=BC，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．