摘要：21．已知离心率为的椭圆C:+＝1(a＞b＞0)过点M(.1).O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程, (2)已知直线l与椭圆C交于不同的两点A.B.若直线l是圆O:x2+y2＝的一条切线.试证明∠AOB＝.它的逆命题成立吗?若成立.请给出证明,否则.请说明理由． 解析:(1)因为椭圆C:+＝1(a＞b＞0)过点M(.1).且离心率为. 所以.解得. 故椭圆C的方程为+＝1. (2)若直线l的斜率存在.则设直线l的方程为y＝kx+m.直线l与椭圆C交于不同的两点A(x1.y1).B(x2.y2). 由直线l与圆O相切得r＝.即r2＝＝. 联立方程组.得x2+2(kx+m)2＝8. 即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8＝0. 则Δ＝16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)＝8(8k2-m2+4)＞0.即8k2-m2+4＞0.由方程根与系数的关系得:. 从而y1y2＝(kx1+m)(kx2+m)＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2＝-+m2＝.要证∠AOB＝.即⊥.只需证x1x2+y1y2＝0.即证+＝0.即证3m2-8k2-8＝0.而＝.所以3m2-8k2-8＝0成立．即∠AOB＝. 而当直线l的斜率不存在时.直线l为x＝±.此时直线l与椭圆+＝1的两个交点为.满足⊥.综上.有∠AOB＝. 逆命题:已知直线l与椭圆C交于不同的两点A.B.若∠AOB＝.则直线l是圆O:x2+y2＝的一条切线．结论成立． 证明:当直线l的斜率存在时.设直线l:y＝kx+m.直线l与椭圆C:+＝1的两个交点为A(x1.y1).B(x2.y2).联立方程组.得x2+2(kx+m)2＝8.即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8＝0. 则Δ＝16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)＝8(8k2-m2+4)＞0.即8k2-m2+4＞0.由方程根与系数的关系得: . 则y1y2＝(kx1+m)(kx2+m)＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2＝-+m2＝.由∠AOB＝知.⊥.即x1x2+y1y2＝0.即+＝0.所以3m2-8k2-8＝0.因为圆心到直线l的距离d＝.则d2＝＝＝.而r2＝.此时直线y＝kx+m与圆O相切． 当直线l的斜率不存在时.由⊥可以计算得到直线l与椭圆+＝1的两个交点为(.±)或 .此时直线l为x＝±.满足圆心到直线的距离等于半径.即直线与圆相切． 综上.其逆命题成立．

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