摘要：19．如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为菱形.PA⊥平面ABCD.∠ABC＝60°.E.F分别是BC.PC的中点． (1)证明:AE⊥PD, (2)若H为PD上的动点.EH与平面PAD所成最大角的正切值为.求二面角E-AF-C的余弦值． 解析:(1)由四边形ABCD为菱形.∠ABC＝60°.可得△ABC为正三角形． 因为E为BC的中点.所以AE⊥BC. 又BC∥AD.所以AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD.AE⊂平面ABCD. 所以PA⊥AE. 而PA⊂平面PAD.AD⊂面PAD且PA∩AD＝A.所以AE⊥平面PAD.又PD⊂面PAD.所以AE⊥PD. (2)设AB＝2.H为PD上任意一点.连接AH.如图． 由(1)知AE⊥平面PAD.则∠EHA为EH与平面PAD所成的角． 在Rt△EAH中.AE＝.所以当AH最短时.∠EHA最大.即当AH⊥PD时.∠EHA最大．此时tan∠EHA＝＝＝.因此AH＝.又AD＝2.所以∠ADH＝45°.所以PA＝2. 解法一 因为PA⊥平面ABCD.PA⊂平面PAC.所以平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O.则EO⊥平面PAC.过O作OS⊥AF于S.连接ES.则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角.在Rt△AOE中.EO＝AE·sin30°＝.AO＝AE·cos30°＝.又F是PC的中点.则AF⊥PC.∠FAO＝45°.则在Rt△ASO中.SO＝AO·sin45°＝.又SE＝＝ ＝.在Rt△ESO中.cos∠ESO＝＝＝.即所求二面角的余弦值为. 解法二 因为AE.AD.AP两两垂直.故以A为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系.连接BD.因为E.F分别为BC.PC的中点.所以A.B.C.D.P.E.F(..1)． 所以＝.＝(..1)． 设平面AEF的一个法向量为m＝(x1.y1.z1).则. 因此.取z1＝-1.则m＝．又可知BD⊥AC.BD⊥PA.PA∩AC＝A.所以BD⊥平面AFC.故为平面AFC的一个法向量．又＝. 所以cos〈m.〉＝＝＝. 因为二面角E-AF-C为锐角.所以所求二面角的余统值为.

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