摘要：利用函数零点解不等式 二次函数的图象是连续的.当它通过零点时.函数值变号.并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号.根据二次函数变号零点的这一性质.可以求解二次不等式. 例1二次函数的部分对应值如下表: 则不等式的解集是. 解:由表中数据可知函数的两个零点分别为和.这两个零点将其余实数分为三个区间:. 在区间中取特殊值.由于.因此根据二次函数变号零点的性质可得: 当时.都有, 当时.都有; 当时.都有. 不等式的解集为.
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已知函数
，
.
（Ⅰ）若函数
依次在
处取到极值.求
的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立.求正整数
的最大值.
【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。
第二问中，利用存在实数，使对任意的，不等式
恒成立转化为
，恒成立，分离参数法求解得到范围。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
转化为存在实数
，使对任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
设
，则.
设
，则
，因为，有
.
故
在区间上是减函数。又
故存在
，使得
.
当
时，有
，当
时，有
.
从而
在区间
上递增，在区间
上递减.
又
[来源:]
所以当
时，恒有
；当
时，恒有
；
故使命题成立的正整数m的最大值为5
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