摘要：单调性 例7 已知函数y=f(x)的定义域为R.对任意x∈R.均有f(x+x)=f(x)+f(x).且对任意x＞0.都有f(x)＜0.f(3)=-3． (1)证明函数y=f(x)是R上的单调减函数, (2)试求函数y=f(x)在[m.n](m.n∈Z且mn＜0＝上的值域． [分析]利用函数的单调性的定义证明,由(1)的结论可知f(m).f(n)分别是函数y=f(x)在[m.n]上的最大值与最小值.故求出f(m)与f(n)即可得所求函数的值域． [证明](1)任取..且＜..由题设f(x+x)=f(x)+f(x).可知.∵＜.∴-＞0.∴f(-)＜0, ∴＜.故y=f(x)是R上的单调减函数． (2)由于y=f(x)是R上的单调减函数.∴y=f(x)在[m.n]上也是单调递减函数.∴y=f(x)的最大值为f(m).最小值为f(n).∵f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=--=nf(1),同理f(m)= m f(1)． ∵f(3)=-3.∴f(3)=3 f(1) =-3.∴f(1)=-1.f(m)=-m.f(n)=-n.故函数y=f(x)在[m.n]上的值域为[-n .-m]． [点评]:对于抽象函数.往往通过研究函数的单调性确定其最值和值域,对抽象函数关系式中的变元取适当的值.求所需关系式或值.是解决抽象函数问题的常用技巧． 例8 若函数f(x)=|x-a|在内是减函数.求实数a的取值范围． [分析]本题采用数形结合的方法形象直观容易求a的取值范围． [解析]f(x)=|x-a|=.作出函数的图象.由于(-∞.a)内是减函数.而在内也是减函数.故是(-∞.a)的子区间． 因此a≥1．
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已知函数y=f(x)的定义域为［-1,1］,且f(1)=1,若a、b∈［-1,1］且a≠b,有
＞0.
＞0.(1)判断f(x)在［-1,1］上的单调性;
(2)解不等式f(x+
)＜f(
);
(3)若f(x)≤m2-2am+1对于所有x∈［-1,1］,a∈［-1,1］恒成立,求m的取值范围.
查看习题详情和答案>>.设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x, y，均有
f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。
（1）求f(1), f(
)的值；
（2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）一个各项均为正数的数列{a??n}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)－1，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
（4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n·a1·a2…an≥M·
.(2a1－1)·(2a2－1)…(2an－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.
.设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x, y，均有
f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。
（1）求f(1), f(
)的值；
（2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）一个各项均为正数的数列{an}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)－1，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
（4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n·a1·a2…an≥M·
.(2a1－1)·(2a2－1)…(2an－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.
f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。
（1）求f(1), f(
)的值；（2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）一个各项均为正数的数列{an}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)－1，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
（4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n·a1·a2…an≥M·
.(2a1－1)·(2a2－1)…(2an－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.