摘要：12．如图.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形.O1.O分别为上.下底面的中心.且A1在底面ABCD内的射影为O. (1)求证:平面O1DC⊥平面ABCD, (2)若点E.F分别在棱AA1.BC上.且AE＝2EA1.问点F在何处时.EF⊥AD? [解析] (1)证明:如图.连结AC.BD.A1C1.则O为AC.BD的交点.O1为A1C1.B1D1的交点．由平行六面体的性质知:A1O1∥OC.且A1O1＝OC.∴四边形A1OCO1为平行四边形.∴A1O∥O1C. ∵A1O⊥平面ABCD.∴O1C⊥平面ABCD. 又∵O1C⊂平面O1DC.∴平面O1DC⊥平面ABCD. (2)如图.作EH⊥平面ABCD.垂足为H.则EH∥A1O.点H在直线AC上.且EF在平面ABCD内的射影为HF. 由三垂线定理及其逆定理知.若EF⊥AD.则HF∥AB. ∵AE＝2EA1.∴AH＝2OH.从而CH＝2AH. 又∵HF∥AB.∴CF＝2BF.∴当F为BC的三等分点(靠近点B)时.有EF⊥AD.

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