摘要：12．如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是矩形.PA＝AB＝2.BC＝a.又侧棱PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时.BD⊥平面PAC?试证明你的结论, (2)当a＝4时.求点D到平面PBC的距离, (3)当a＝4时.求直线PD与平面PBC所成的角． [解析] (1)以A为坐标原点.以AD.AB.AP所在直线分别为x轴.y轴.z轴.建立空间直角坐标系. 当a＝2时.BD⊥AC. 又PA⊥BD.故BD⊥平面PAC.故a＝2. .B.C.P． ＝. 设平面PBC的法向量为n＝(x.y.z).则n·＝0.n·＝0. 即(x.y.z)·＝2y-2z＝0. (x.y.z)·＝4x＝0.得x＝0.y＝z.取y＝1. 故n＝.则D点到平面PBC的距离d＝＝. .cos〈.n〉＝＝＞0. 记〈.n〉＝α. 设直线PD与平面PBC所成的角为θ.则 sin θ＝sin＝cos α＝. ∴直线PD与平面PBC所成的角为arcsin.

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