摘要：12．如图.已知椭圆C:+＝(m＞0).经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A.B两点.M为线段AB的中点.设O为椭圆的中心.射线OM交椭圆于N点． (1)是否存在k.使对任意m＞0.总有+＝成立?若存在.求出所有k的值, (2)若·＝-(m3+4m).求实数k的取值范围． [解析] (1)椭圆C:+＝1.c2＝-＝m2. c＝m.∴F(m,0). 直线AB的方程为:y＝k(x-m)． 由. 消去y得 (10k2+6)x2-20k2mx+10k2m2-15m2＝0. 设A(x1.y1).B(x2.y2).则 x1+x2＝.x1x2＝. 则xM＝＝.yM＝k(xM-m)＝. 若存在k.使+＝总成立.M为线段AB的中点. ∴M为ON的中点. ∴+＝2. ∴+＝(2xM,2yM)＝(.). 即N点的坐标为(.)． 由N点在椭圆上. 则×()2+×()2＝. 即5k4-2k2-3＝0.∴k2＝1或k2＝-． 故存在k＝±1.使对任意m＞0.总有+＝成立． (2)·＝x1x2+y1y2 ＝x1x2+k2(x1-m)(x2-m) ＝(1+k2)x1x2-k2m(x1+x2)+k2m2 ＝(1+k2)·-k2m·+k2m2 ＝. 由 ＝-(m3+4m). 得＝-(m+)≤-2. 即k2-15≤-20k2-12.k2≤. ∴-≤k≤且k≠0.

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_565440[举报]