摘要：6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB＝BC＝2.过A1.C1.B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1.且这个几何体的体 积为.(1)证明:直线A1B∥平面CDD1C1,(2)求棱A1A的长,(3)求经过A1.C1.B.D四点的球的表面积． 解:(1)证明:法一:如图.连结D1C. ∵ABCD-A1B1C1D1是长方体. ∴A1D1∥BC且A1D1＝BC. ∴四边形A1BCD1是平行四边形． ∴A1B∥D1C. ∵A1B⊄平面CDD1C1.D1C⊂平面CDD1C1. ∴A1B∥平面CDD1C1. 法二:∵ABCD-A1B1C1D1是长方体. ∴平面A1AB∥平面CDD1C1. ∵A1B⊂平面A1AB.A1B⊄平面CDD1C1. ∴A1B∥平面CDD1C1. (2)设A1A＝h.∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为. ∴VABCD-A1C1D1＝VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1＝. 即SABCD×h-×S△A1B1C1×h＝. 即2×2×h-××2×2×h＝.解得h＝4. ∴A1A的长为4. (3)如图.连结D1B.设D1B的中点为O.连OA1.OC1.OD. ∵ABCD-A1B1C1D1是长方体.∴A1D1⊥平面A1AB. ∵A1B⊂平面A1AB.∴A1D1⊥A1B. ∴OA1＝D1B.同理OD＝OC1＝D1B. ∴OA1＝OD＝OC1＝OB. ∴经过A1.C1.B.D四点的球的球心为点O. ∵D1B2＝A1D12+A1A2+AB2＝22+42+22＝24. ∴S球＝4π×(OD1)2＝4π×()2＝π×D1B2＝24π. 故经过A1.C1.B.D四点的球的表面积为24π. B组

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