摘要：例2若函数y＝lg(x2+ax+1)的值域为R.求实数a的取值范围. 错解:因函数y＝lg(x2+ax+1)的值域为R.故x2+ax+1＞0对x∈R恒成立.而f(x)＝x2+ax+1是开口向上的抛物线.从而△＜0.即a2-4＜0.解得-2＜a＜2.它便是所求的a的取值范围. 辨析:以上解答与下列问题混为一谈:若函数y＝lg(x2+ax+1)的定义域为R.求实数a的取值范围.事实上.当值域为R时.它表示函数值x2+ax+1可取遍全体正实数.因而函数x2+ax+1的最小值不大于0,而当函数y＝lg(x2+ax+1)的定义域为R时.它表示对一切实数x.函数值x2+ax+1恒正.因而它们是两类不同的问题. 正解一:∵函数y＝lg(x2+ax+1)的值域为R.∴x2+ax+1当x∈R时.可取遍全体正实数.∴x2+ax+1的最小值不大于0.∴△＝a2-4≥0.即a≥2或a≤-2.这就是所求a的取值范围. 正解二:同上.x2+ax+1的最小值不大于0.∵x2+ax+1＝(x+)2+1–.∴x2+ax+1的最小值为1–≤0.解得a≥2或a≤-2.这就是所求a的取值范围. 特别提醒:破解问题时.应注意问题的细微区别.防止犯似曾相识的错误.“函数的值域为A 与“f(x)∈A恒成立 与上题有类似的地方.这两例的辨析启示我们.在平时的学习中.应认真比较各种问题间的区别.防止就题论题且不加区别. 例3已知函数f(x)＝log2x+3.则函数y＝[f(x)]2+f(x2)的最大值是 . 错解:∵x∈[1,8].故log2x∈[0,3]. y＝[f(x)]2+f(x2)＝(log2x+3)2+(log2x2+3)＝logx+8log2x2+12＝(log2x+4)2-4. 而log2x+4∈[4,7].则(log2x+4)2-4∈[12,45].∴y＝[f(x)]2+f(x2)的最大值为45. 辨析:函数f(x)的定义域为[1,8].则f(x2)的定义域应为[1,2].上面的解法忽视了定义域的变化.从而扩大了值域. 正解:函数y＝[f(x)]2+f(x2)的定义域是由Þ1≤x≤2确定.∴y＝[f(x)]2+f(x2)＝(log2x+4)2-4.而log2x∈[0,].则(log2x+4)2-4∈[12,].∴y＝[f(x)]2+f(x2)的最大值为. 特别提醒:复合函数导致定义域变化最容易被忽略.在解相关题目时.要重点先分析定义域.做到解题时无“后顾之忧 . 三﹑求函数的解析式中的错误 例4已知函数f(x2-3)＝lg.求f(x)的解析式. 错解1:由＞0.得x＞2或x＜-2.∴函数f(x)的定义域为{x|x＞2或x＜-2}. 错解2:令x2-3＝t.是x2＝t+3.代入函数式可得:f(t)＝lg.由＞0.得t＜-3或t＞1. ∴函数f(x)的定义域为{x|t＜-3或t＞1}. 辨析:错解1把函数f(x2-3)与f(x)混淆为同一函数.若令F(x)＝f(x2-3)＝lg.令x2-3＝t.得f与f(x)是两个不同的函数.它们具有不同的定义域和对应法则.因此求的是F的定义域.错解2在用换元法时没有考虑自变量t受到x2-3的取值范围的限制. 正解:正确的解法为:先求f(x)的表达式.令x2-3＝t.因＞0.故x＞2或x＜-2.则x2＝t+3.此时由抛物线性质知t＞-3.∴f(t)＝.由＞0.得t＜-3或t＞1.此时f(x)的定义域就是t的取值范围.故f(x)的定义域为{x|x＞1}. 特别提醒:本题所求复合函数外层函数定义域.根据复合规律知实质上是求内层函数的值域.因此.解答复合函数问题时.分清内.外层函数是关键. 四﹑判断函数单调性中的错误 例6试求函数f(x)＝log4(7+6x-x2)的单调递增区间. 错解:设y＝log4u.u＝g(x)＝7+6x-x2＝-(x-3)2+16.则对二次函数u＝g(x).当x≤3时为增函数,当x≥3时为减函数.又y＝log4u是增函数.故由复合函数的单调性知.所求函数的单调递增区间为(-∞,3]. 辨析:上述解答中就是忽视了原函数的定义域{x|-1≤x≤7}.因为函数的单调区间是函数定义域的子区间. 正解:设y＝log4u.u＝g(x)＝7+6x-x2＝-(x-3)2+16.则 对二次函数u＝g(x).当x≤3时为增函数,当x≥3时为减函数. 又y＝log4u是增函数.且由7+6x-x2＞0得函数的定义域为. 于是函数f(x)的增区间是(-1,3]. 特别提醒:由于函数的单调性是一个局部概念.单调区间是定义域的一个子区间.因此.在解答函数的单调性问题时必须首先考虑函数的定义域.

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