摘要：21．已知数列{an}满足a1＝1.an+1＝.记bn＝a2n.n∈N*. (1)求a2.a3, (2)求数列{bn}的通项公式, (3)求证S2n+1＝a1+a2+-+a2n+a2n+1. 解析:(1)a2＝.a3＝-. (2)当n≥2时.bn＝a2n＝a(2n-1)+1＝a2n-1+(2n-1) ＝[a2n-2-2(2n-2)]+(2n-1)＝a2(n-1)+1＝bn-1+1 ∴bn-2＝(bn-1-2).又b1-2＝a2-2＝-. ∴bn-2＝-·()n-1＝-()n.即bn＝2-()n. (3)∵a2n+1＝a2n-4n＝bn-4n ∴S2n+1＝a1+a2+-+a2n+a2n+1 ＝(a2+a4+-+a2n)+(a1+a3+a5+-+a2n+1) ＝(b1+b2+-+bn)+[a1+(b1-4×1)+(b2-4×2)+-+(bn-4×n)] ＝a1+2(b1+b2+-+bn)-4×(1+2+-+n) ＝1+2(2n-)-4× ＝()n-1-2n2+2n-1.

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