摘要：＝-2(|x|-)2+≤.22．已知f(x)是二次函数.不等式f(x)<0的解集是(0,5).且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12. (1)求f(x)的解析式． (2)是否存在自然数m.使得方程f(x)+＝0在区间 (m.m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在.求出所有m的值,若不存在.请说明理由． 解:(1)∵f(x)是二次函数.且f(x)<0的解集是(0,5).∴可设f(x)＝ax(x-5)(a>0)． ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)＝6a.由已知.得6a＝12.∴a＝2. ∴f(x)＝2x(x-5)＝2x2-10x(x∈R)． (2)方程f(x)+＝0等价于方程2x3-10x2+37＝0. 设h(x)＝2x3-10x2+37. 则h′(x)＝6x2-20x＝2x(3x-10)． 当x∈(0.)时.h′(x)<0.h(x)是减函数, 当x∈时.h′(x)>0.h(x)是增函数． ∵h(3)＝1>0.h()＝-<0.h(4)＝5>0. ∴方程h(x)＝0在区间内分别有唯一实数根. 而在区间内没有实数根． ∴存在唯一的自然数m＝3.使得方程f(x)+＝0在区间(m.m+1)内有且只有两个不同的实数根．

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