摘要：已知椭圆中心在原点.焦点在y轴上.离心率为.以原点为圆心.椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切. (Ⅰ)求椭圆的标准方程, (Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点.点A.B是抛物线上的两个动点.且满足.过点A.B分别作抛物线的两条切线.设两切线的交点为M.试推断是否为定值?若是.求出这个定值,若不是.说明理由. [解](Ⅰ)设椭圆方程为(a＞b＞0). 因为.得.又.则. 故椭圆的标准方程是. (Ⅱ)由椭圆方程知.c＝1.所以焦点F(0.1).设点A(x1.y1).B(x2.y2)． 由.得(-x1.1-y1)＝λ(x2.y2-1).所以-x1＝λx2.1-y1＝λ(y2-1). 于是.因为..则y1＝λ2y2. 联立y1＝λ2y2和1-y1＝λ(y2-1).得y1＝λ.y2＝. 因为抛物线方程为y＝x2.求导得y′＝x．设过抛物线上的点A.B的切线分别为l1.l2.则 直线l1的方程是y＝x1(x-x1)+y1.即y＝x1x-x12. 直线l2的方程是y＝x2(x-x2)+y2.即y＝x2x-x22． 联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为. 因为x1x2＝-λx22＝-4λy2＝-4. 所以点M． 于是.(x2-x1.y2-y1). 所以＝＝(x22-x12)-2(x22-x12)＝0. 故为定值0.

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