摘要：已知函数f(x)的定义域为[0.1].且同时满足:①f(1)＝3,②f(x)≥2对一切x∈[0.1]恒成立,③若x1≥0.x2≥0.x1+x2≤1.则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2. (Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小值, (Ⅱ)试比较与(n∈N)的大小, (Ⅲ)某同学发现:当(n∈N)时.有f(x)＜2x+2.由此他提出猜想:对一切x∈(0.1].都有f(x)＜2x+2.请你判断此猜想是否正确.并说明理由． (Ⅰ)设x1.x2∈[0.1].x1＜x2.则x2-x1∈[0.1]． ∴f(x1)＝f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)-2． ∴f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)-2≥0．∴f(x1)≤f(x2)． ---------- 2分 则当0≤x≤1时.f(0)≤f(x)≤f(1)． ---------------- 3分 在③中.令x1＝x2＝0.得f(0)≤2.由②得f(0)≥2.∴f(0)＝2． --- 4分 ∴当x＝0时.f(x)取得最小值为2, 当x＝1时.f(x)取得最大值为3． ----------------- 6分 (Ⅱ)在③中.令x1＝x2＝.得 -------- 8分 ∴ 则． ----------------------- 11分 (Ⅲ)对x∈[0.1].总存在n∈N.满足＜x≤． -------- 13分 由.得.又2x+2＞2·+2＝+2． ∴f(x)＜x+2． 综上所述.对任意x∈[0.1]．f(x)＜x+2恒成立． --------- 16分 B．附加题部分

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