摘要：如图.四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是矩形.PA⊥底面ABCD.PA=PB=1.AD=.点F是PB的中点.点E在边BC上移动. (1)点E为BC的中点时.试判断EF与平面PAC的位置关系.并说明理由, (2)证明:无论点E在BC边的何处.都有PE⊥AF, (3)当BE等于何值时.PA与平面PDE所成角的大小为45°. 解:(1) 点E为BC的中点时. EF∥平面PAC. 证明如下:∵BE=CE.BF=PF ∴EF∥PC 又EF在平面PAC外.PC在平面PAC内.所以EF∥平面PAC (2) ∵PA=AB.BF=PF ∴AF⊥PB ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BC 又BC⊥AB ∴BC⊥平面PAB 而AF在平面PAB内.∴AF⊥BC ∵BC.PB是平面PBC内的两条相交直线 ∴AF⊥平面PBC ∵无论点E在BC边的何处.PE都在平面PBC内 ∴PE⊥AF (3)利用空间向量来解.以A为原点.AD.AB.AP所在的直线分别为x轴.y轴.z轴.建立空间直角坐标系A-xyz.设BE=m. 则A,D(,0,0),E, ∴,,, 设平面PDE的法向量为.则. ∴..令x=1,得. ∵PA与平面PDE所成角的大小为45° ∴. 解得或(舍) 因此.当BE=时.PA与平面PDE所成角的大小为45°.

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