设等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；等差数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+

3

2

bn=0（t∈R，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若对任意n∈N^*，有a_nb_n+1+λa_na_n+1≥b_na_n+1成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）对每个正整数k，在a_k和a _k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

设等比数列{a_n}的首项为a，公比q＞0且q≠1，前n项和为S_n．
（Ⅰ）当a=1时，S₁+1，S₂+2，S₃+1三数成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，命题甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三数构成等差数列． 命题乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三数构成等差数列．求证：对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题．

等差数列{a_n}的首项和公差都是

2

3

，记{a_n}前n项和为S_n．等比数列{b_n}各项均为正数，公比为q，记{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ） 写出S_i（i=1，2，3，4，5）构成的集合A；
（Ⅱ） 若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得T_k，T_2k同时为集合A中的元素？若存在，写出所有符合条件的{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ） 若将S_n中的整数项按从小到大的顺序构成数列{c_n}，求{c_n}的一个通项公式．