摘要：18．(2005年高考·浙江卷·理18)如图.在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.AB＝BC＝kPA.点O.D分别是AC.PC的中点.OP⊥底面ABC． (Ⅰ)当k＝时.求直线PA与平面PBC所成角的大小, (Ⅱ) 当k取何值时.O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心? 解:方法一: (Ⅰ) ∵O.D分别为AC.PC中点. . (Ⅱ) . 又. PA与平面PBC所成的角的大小等于. 知..∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点. 若点F是的重心.则B.F.D三点共线. ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD. .即 反之.当时.三棱锥为正三棱锥. ∴O在平面PBC内的射影为的重心 方法二: .. 以O为原点.射线OP为非负z轴.建立空间直角坐标系 设则. 设.则 (Ⅰ)D为PC的中点. . 又. (Ⅱ).即. 可求得平面PBC的法向量. . 设PA与平面PBC所成的角为.则 . (Ⅲ)的重心. . . 又. .即. 反之.当时.三棱锥为正三棱锥. ∴O在平面PBC内的射影为的重心

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