摘要：如图.已知抛物线经过A及原点O.顶点为C． (1)求抛物线的解析式, (2)若点D在抛物线上.点E在抛物线的对称轴上.且A.O.D.E为顶点的四边形是平行四边形.求点D的坐标, (3)P是抛物线上的第一象限内的动点.过点P作PMx轴.垂足为M.是否存在点P.使得以P.M.A为顶点的三角形△BOC相似?若存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由． 考点:二次函数综合题. 专题:综合题. 分析:(1)由于抛物线经过A及原点O.待定系数法即可求出抛物线的解析式, (2)根据平行四边形的性质.对边平行且相等以及对角线互相平方.可以求出点D的坐标, (3)根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标． 解答:解(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.B可得 . 解得． 故抛物线的解析式为y=x2+2x, (2)①当AE为边时. ∵A.O.D.E为顶点的四边形是平行四边形. ∴DE=AO=2. 则D在x轴下方不可能. ∴D在x轴上方且DE=2. 则D1(1.3).D2, ②当AO为对角线时.则DE与AO互相平方. 因为点E在对称轴上. 且线段AO的中点横坐标为﹣1. 由对称性知.符合条件的点D只有一个.与点C重合.即C 故符合条件的点D有三个.分别是D1(1.3).D2, (3)存在. 如上图:∵B.根据勾股定理得: BO2=18.CO2=2.BC2=20. ∴BO2+CO2=BC2． ∴△BOC是直角三角形． 假设存在点P.使以P.M.A为顶点的 三角形与△BOC相似. 设P(x.y).由题意知x＞0.y＞0.且y=x2+2x. ①若△AMP∽△BOC.则=. 即 x+2=3(x2+2x) 得:x1=.x2=﹣2． 当x=时.y=.即P(.)． ②若△PMA∽△BOC.则=. 即:x2+2x=3(x+2) 得:x1=3.x2=﹣2 当x=3时.y=15.即P． 故符合条件的点P有两个.分别是P(.)或． 点评:本题考查的是二次函数的综合题.首先用待定系数法求出抛物线的解析式.然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标．
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如图，已知抛物线经过点A（-3，0），B（0，3），C（2，0）三点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m的值的点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tan∠ADE的值． 查看习题详情和答案>>
如图，已知抛物线经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）当m=2时，点Q为平移后的抛物线的一动点，是否存在这样的⊙Q，使得⊙Q与两坐标轴都相切？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，-5），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线CD的解析式为y=x+b，将直线CD沿着y轴方向平移2个单位得直线AN，交x、y轴于点A、N．
①求直线AN的解析式；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点P为圆心的圆同时与直线AN、y轴相切？若有，求出点P的坐标． 查看习题详情和答案>>
（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C
（2008•海口一模）如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接BO、CA，若四边形OACB是平行四边形．