摘要： 如图.AB是半圆O的直径.AB=2.射线AM.BN为半圆的切线.在AM上取一点D.连接BD交半圆于点C.连接AC.过O点作BC的垂线OE.垂足为点E.与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP.切点为P.与BN相交于点Q. (1)求证:△ABC∽ΔOFB, (2)当ΔABD与△BFO的面积相等时.求BQ的长, (3)求证:当D在AM上移动时(A点除外).点Q始终是线段BF的中点. [解](1)证明:∵AB为直径. ∴∠ACB=90°.即AC⊥BC. 又∵OE⊥BC.∴OE//AC.∴∠BAC=∠FOB. ∵BN是半圆的切线.故∠BCA=∠OBF=90°. ∴△ACB∽△OBF. (2)由△ACB∽△OBF.得∠OFB=∠DBA.∠DAB=∠OBF=90°. ∴△ABD∽△BFO. 当△ABD与△BFO的面积相等时.△ABD≌△BFO. ∴AD=BO=AB =1. ∵DA⊥AB.∴DA为⊙O的切线. 连接OP.∵DP是半圆O的切线. ∴DA=DP=1.∴DA=AO=OP=DP=1. ∴四边形ADPO为正方形. ∴DP//AB.∴四边形DABQ为矩形. ∴BQ=AD=1. 知.△ABD∽△BFO. ∴.∴. ∵DPQ是半圆O的切线.∴AD=DP.QB=QP. 过点Q作AM的垂线QK.垂足为K.在Rt△DQK中.. ∴. ∴.∴BF=2BQ.∴Q为BF的中点.

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