题目内容
如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E，则下列四个结论：①点D为AC的中点；②S△O′OE=S△AOC；③2 |
| AD |
|
| AC |
分析：①连接DO，利用园中角定理以及垂径定理求出即可；
②利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求出即可；
③利用弧长计算公式求出即可；
④根据菱形的判定得出即可．
②利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求出即可；
③利用弧长计算公式求出即可；
④根据菱形的判定得出即可．
解答：
解：①连接DO，
∵AO是半圆直径，
∴∠ADO=90°，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，即点D为AC的中点．
故①正确；
②∵O′E∥AC，
∴△EO′O∽△AOC，
∴
=
，
∴S△O′OE=
S△AOC，
故②错误；
③∵OD⊥AC，AD=DC，
∴∠AOD=∠DOC，
∴∠AO′D=∠AOC，AO=2AO′，
∴2
=
；
故③正确；
④④∵D为AC中点，O′为AO中点，
∴DO′是△AOC中位线，
∴DO′∥CO，
∵O′E∥AC，
∴O′为AO中点，
∵D为AC中点，
∴DE∥AO，
∴四边形DO′OE是平行四边形，
∵DO′=O′O，
∴四边形O′DEO是菱形．
∴④正确．
综上所述，只有①③④正确．
故选C．
解：①连接DO，∵AO是半圆直径，
∴∠ADO=90°，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，即点D为AC的中点．
故①正确；
②∵O′E∥AC，
∴△EO′O∽△AOC，
∴
| OO′ |
| AO |
| 1 |
| 2 |
∴S△O′OE=
| 1 |
| 4 |
故②错误；
③∵OD⊥AC，AD=DC，
∴∠AOD=∠DOC，
∴∠AO′D=∠AOC，AO=2AO′，
∴2
|
| AD |
|
| AC |
故③正确；
④④∵D为AC中点，O′为AO中点，
∴DO′是△AOC中位线，
∴DO′∥CO，
∵O′E∥AC，
∴O′为AO中点，
∵D为AC中点，
∴DE∥AO，
∴四边形DO′OE是平行四边形，
∵DO′=O′O，
∴四边形O′DEO是菱形．
∴④正确．
综上所述，只有①③④正确．
故选C．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．
练习册系列答案
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