摘要： 某数学兴趣小组开展了一次活动.过程如下: 设∠BAC=(0°＜＜90°).现把小棒依次摆放在两射线AB.AC之间.并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一: 如图甲所示.从点A1开始.依次向右摆放小棒.使小棒与小棒在两端点处互相垂直.A1A2为第1根小棒. 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗?答: . (2)设AA1=A1A2=A2A3=1. ①= 度, ②若记小棒A2n-1A2n的长度为an(n为正整数.如A1A2=a1,A3A4=a2,),求此时a2.a3的值.并直接写出an. 图甲 活动二: 如图乙所示.从点A1开始.用等长的小棒依次向右摆放.其中A1A2为第1根小棒.且A1A2= AA1. 数学思考: (3)若已经向右摆放了3根小棒.则= .= .= ,(用含的式子表示) (4)若只能摆放4根小棒.求的范围. 图乙 [答案]解:(1)能 (2)①22.5° ②方法一: ∵AA1=A1A2=A2A3=1. A1A2⊥A2A3.∴A1A3=.AA3=1+. 又∵A2A3⊥A3A4.∴A1A2∥A3A4.同理:A3A4∥A5A6.∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5. ∴AA3=A3A4.AA5=A5A6.∴a2= A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2, ∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2. 方法二: ∵AA1=A1A2=A2A3=1. A1A2⊥A2A3.∴A1A3=.AA3=1+. 又∵A2A3⊥A3A4.∴A1A2∥A3A4.同理:A3A4∥A5A6.∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5. ∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°.∠A2A4A3=∠A4A6A5.∴△A2A3A4∽△A4A5A6. ∴.∴a3==(+1)2. an=(+1)n-1. (3) (4)由题意得.∴15°＜≤18°.
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阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算
的近似值．
小明的方法：
∵
＜
＜
，
设
=3+k（0＜k＜1）．
∴(
)2=(3+k)2．
∴13=9+6k+k2．
∴13≈9+6k．
解得 k≈
．
∴
≈3+
≈3.67．
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算
的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算
的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜
＜a+1，且m=a2+b，则
≈
（3）请用（2）中的结论估算
的近似值．
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学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算
| 13 |
小明的方法：
∵
| 9 |
| 13 |
| 16 |
设
| 13 |
∴(
| 13 |
∴13=9+6k+k2．
∴13≈9+6k．
解得 k≈
| 4 |
| 6 |
∴
| 13 |
| 4 |
| 6 |
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算
| 41 |
（2）请结合上述具体实例，概括出估算
| m |
| m |
| m |
a+
| b |
| 2a |
a+
（用含a、b的代数式表示）；| b |
| 2a |
（3）请用（2）中的结论估算
| 37 |
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= 度；
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= ，θ2= ，θ3= （用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
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设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ=
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1=
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
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某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= 度；
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…） 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，θ1= ，θ2= ，θ3= ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
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设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ=
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…） 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，θ1=
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
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（2013•岳阳）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP=DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．
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（1）求证：DP=DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．
