Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：

 

．（填“能”或“不能”）
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=

 

度；
②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…） 求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）．


活动二：
如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，θ₁=

 

，θ₂=

 

，θ₃=

 

；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

Answer 1

分析：（1）因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去；
（2）①根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出，②结合已知条件，根据直角三角形的性质，即可得出A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

，由A₁A₂∥A₃A₄∥A₅A₆，可以推出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，得AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆，即可推出a₂、a₃的长度，然后推出a_n的关于你的表达式；
（3）根据三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可推出θ₁=∠A₂A₁A₃=2θ，即可推出θ₂，同理即可推出θ₂，θ₃；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）能．
因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去；

（2）①∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴θ₂=45°，
θ=22.5°．
故答案为22.5；

②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

．
又∵A₂A₃⊥A₃A₄，
∴A₁A₂∥A₃A₄．
同理：A₃A₄∥A₅A₆，
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

，
a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅．
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a2+

2

a2=(

2

+1)2．
∴an=(

2

+1)n-1；

（3）∵A₁A₂₌AA₁
∴θ₁=∠A₂A₁A₃=2θ，
∴θ₂=∠A₂A₄A₃=θ+2θ=3θ，
∴θ₃=∠A₂A₄A₃+θ=4θ，
故答案为θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ；

（4）由题意得：

5θ≥90° 4θ＜90°

，
∴18°≤θ＜22.5°．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数等．