摘要：在直角坐标系xoy中.已知点P是反比例函数图象上一个动点.以P为圆心的圆始终与y轴相切.设切点为A． (1)如图1.⊙P运动到与x轴相切.设切点为K.试判断四边形OKPA的形状.并说明理由． (2)如图2.⊙P运动到与x轴相交.设交点为B.C．当四边形ABCP是菱形时: ①求出点A.B.C的坐标． ②在过A.B.C三点的抛物线上是否存在点M.使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在.试求出所有满足条件的M点的坐标.若不存在.试说明理由． 考点:二次函数综合题. 分析:(1)四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时.PA⊥y轴.PK⊥x轴.x轴⊥y轴.且PA=PK.可判断结论, (2)①连接PB.设点P(x.).过点P作PG⊥BC于G.则半径PB=PC.由菱形的性质得PC=BC.可知△PBC为等边三角形.在Rt△PBG中.∠PBG=60°.PB=PA=x.PG=.利用sin∠PBG=.列方程求x即可, ②求直线PB的解析式.利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立.列方程组求满足条件的M点坐标即可． 解答:(1)四边形OKPA是正方形． 证明:∵⊙P分别与两坐标轴相切. ∴PA⊥OA.PK⊥OK． ∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°. ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°． ∴四边形OKPA是矩形． 又∵OA=OK. ∴四边形OKPA是正方形． (2)①连接PB.设点P的横坐标为x.则其纵坐标为． 过点P作PG⊥BC于G． ∵四边形ABCP为菱形. ∴BC=PA=PB=PC． ∴△PBC为等边三角形． 在Rt△PBG中.∠PBG=60°.PB=PA=x. PG=． sin∠PBG=.即． 解之得:x=±2． ∴PG=.PA=BC=2． 易知四边形OGPA是矩形.PA=OG=2.BG=CG=1. ∴OB=OG﹣BG=1.OC=OG+GC=3． ∴A(0.).B 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c． 据题意得: 解之得:a=.b=.c=． ∴二次函数关系式为:． ②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v.据题意得: 解之得:u=.v=． ∴直线BP的解析式为:． 过点A作直线AM∥PB.则可得直线AM的解析式为:． 解方程组: 得:,． 过点C作直线CM∥PB.则可设直线CM的解析式为:． ∴0=． ∴． ∴直线CM的解析式为:． 解方程组: 得:,． 综上可知.满足条件的M的坐标有四个. 分别为:(0.).(3.0).(4.).(7.)． 解法二:∵. ∴A(0.).C(3.0)显然满足条件． 延长AP交抛物线于点M.由抛物线与圆的轴对称性可知.PM=PA． 又∵AM∥BC. ∴． ∴点M的纵坐标为． 又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4． ∴点M(4.)符合要求． 点(7.)的求法同解法一． 综上可知.满足条件的M的坐标有四个. 分别为:(0.).(3.0).(4.).(7.)． 解法三:延长AP交抛物线于点M.由抛物线与圆的轴对称性可知.PM=PA． 又∵AM∥BC. ∴． ∴点M的纵坐标为． 即． 解得:x1=0(舍).x2=4． ∴点M的坐标为(4.)． 点(7.)的求法同解法一． 综上可知.满足条件的M的坐标有四个. 分别为:(0.).(3.0).(4.).(7.)． 点评:本题考查了二次函数的综合运用．关键是由菱形.圆的性质.形数结合解题．

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