Question

如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OP•OQ的值是否变化？证明你的结论．

Answer 1

分析：连接DC、PC，由已知得OA=12，OB=9，OC=3，OD=4，以及∠COD=∠BOA=90°，可证△COD∽△BOA，得∠1=∠A，又O、C、P、D四点共圆，故∠1=∠2，即∠2=∠A，再证△POC∽△AOQ，利用相似比求解．

解答：解：点Q在线段AB上运动的过程中，OP•OQ的值是不变的．
证明：连接DC、PC
∵

OC

OB

=

OD

OA

=

1

3

，
∠COD=∠BOA=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴∠1=∠A，
∵O、C、P、D四点共圆，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠A，
∵∠POC=∠AOQ，
∴△POC∽△AOQ，
∵

OC

OQ

=

OP

OA

，
∴OP•OQ=OC•OA=36．

点评：本题考查了四点共圆的判断，相似三角形的判定与性质．关键是根据已知条件证明三角形相似，由相似比得两线段的积为常数．