摘要：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ,内切圆的圆心是三角形的交点.叫做三角形的内心.

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与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的叫做三角形的内心．内心到三角形的相等．如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外接三角形．

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三角形的内切圆
（1）定义：与三角形各边都

的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫三角形的

．
（2）三角形的内心是三角形

三角平分线

三角平分线

的交点，它到三角形

的距离相等，都等于该三角形

内切圆的半径

内切圆的半径

．
（3）如图，若△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F．则AF=AE=

．∠BOC与∠A的关系是

，∠EDF与∠A的关系是

△ABC的面积S与内切圆半径r的关系是

．
（4）直角三角形的外接圆半径等于

斜边长的一半

斜边长的一半

，内切圆半径等于

面积的2倍与周长的商

面积的2倍与周长的商

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与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．

（1）如图1，当n=3时，设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=

∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=

=60°，OC=r，
∴AC=r•tan60°，∴AB=2r•tan60°，
∴S_△OAB=

•r•2r•tan60°=r²tan60°，
∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60度．
（2）如图2，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=4S_△OAB=

；
（3）如图3，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（4）如图4，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=

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与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．（结果可用三角函数表示）
如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=

AOB，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵∠AOC=

=60°，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴S△OAB=

•r•2rtan60°=r2tan60°，∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60°．
（1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=

；
（2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=

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与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．（结果可用三角函数表示）
如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴ $数学公式$ ，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵ $数学公式$ ，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴ $数学公式$ ，∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60°．
（1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=______；
（2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=______．

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