摘要：21． 由方程的根为.可得.,则 (1)方程的根为 . . . , (2)的两个根.则 . , (3)已知(其中＞)是方程的两个根.由(2)的结论.不解方程求①.②的值.
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方程x2-2x+1=0的根为x1=1，x2=1，则x1+x2=2，x1•x2=1．
方程x2+3x-4=0的根为x1=-4，x2=1，则x1+x2=-3，x1•x2=-4，
方程x2-x-1=0的根为x1=
，x2=
，则x1+x2=1，x1•x2=-1
（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
（2）利用（1）的结论解决下列问题：
已知α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α2）（502+mβ+β2）的值．
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方程x2-2x+1=0的根为x1=1，x2=1，则x1+x2=2，x1•x2=1．
方程x2+3x-4=0的根为x1=-4，x2=1，则x1+x2=-3，x1•x2=-4，
方程x2-x-1=0的根为x1=
，x2=
，则x1+x2=1，x1•x2=-1
（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
（2）利用（1）的结论解决下列问题：
已知α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α2）（502+mβ+β2）的值．
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方程x2+3x-4=0的根为x1=-4，x2=1，则x1+x2=-3，x1•x2=-4，
方程x2-x-1=0的根为x1=
，x2=，则x1+x2=1，x1•x2=-1（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
（2）利用（1）的结论解决下列问题：
已知α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α2）（502+mβ+β2）的值．
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阅读下面解方程的过程，
解方程x4－6x2＋5＝0
解：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程化为
y2－6y＋5＝0……①
解得y1＝1，y2＝5，当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1．
当y2＝5时，x2＝5．∴x＝±
所以原方程有四
个根是±1，±
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(2)解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0时，若设x2－z＝y，则原方程可化为________．
设一元二次方程x2+px+q=0（p，q为常数）的两根为x1，x2，则x2+px+q=（x-x1）（x-x2），即x2+px+q=x2-（x1+x2）x+x1x2，比较两边x的同次幂的系数，得
这两个式子揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，且关系式①②中，x1，x2的地位是对等的（即具有对称性，如将x1，x2互换，原关系式不变）．类似地，设一元三次方程x3+px2+qx+r=0（p，q，r为常数）的3个根为x1，x2，x3，则x3+px2+qx+r=（x-x1）（x-x2）（x-x3）．由此可得方程x3+px2+qx+r=0的根x1，x2，x3与系数p，q，r之间存在一组对称关系式：
， ， ．
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设一元二次方程x2+px+q=0（p，q为常数）的两根为x1，x2，则x2+px+q=（x-x1）（x-x2），即x2+px+q=x2-（x1+x2）x+x1x2，比较两边x的同次幂的系数，得
这两个式子揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，且关系式①②中，x1，x2的地位是对等的（即具有对称性，如将x1，x2互换，原关系式不变）．类似地，设一元三次方程x3+px2+qx+r=0（p，q，r为常数）的3个根为x1，x2，x3，则x3+px2+qx+r=（x-x1）（x-x2）（x-x3）．由此可得方程x3+px2+qx+r=0的根x1，x2，x3与系数p，q，r之间存在一组对称关系式：
______，______，______．
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