摘要：19．(1)证明:联结BO.-----------1分 方法一:∵AB＝AD.∴∠D＝∠ABD. ∵AB＝AO. ∴∠ABO＝∠AOB.------2分 又在△OBD中.∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°. ∴∠OBD＝90°.即BD⊥BO. ∴BD是⊙O的切线．········································································ 3分 方法二:∵AB＝AO.BO＝AO.∴AB＝AO＝BO.∴△ABO为等边三角形. ∴∠BAO＝∠ABO＝60°. ∵AB＝AD.∴∠D＝∠ABD. 又∠D+∠ABD＝∠BAO＝60°.∴∠ABD＝30°. -------2分 ∴∠OBD＝∠ABD+∠ABO＝90°.即BD⊥BO. ∴BD是⊙O的切线． --------------------3分 方法三:∵ AB＝AD＝AO.∴点O.B.D在以OD为直径的⊙A上 ----2分 ∴∠OBD＝90°.即BD⊥BO. ∴BD是⊙O的切线． --------------------3分 (2)解:∵∠C＝∠E.∠CAF＝∠EBF.∴△ACF∽△BEF. -------- 4分 ∵AC是⊙O的直径.∴∠ABC＝90°. 在Rt△BFA中.cos∠BFA＝.∴. 又∵CF=9. ∴EF=6．-------5分
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如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+
∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．
（1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．
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（1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．
∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．
已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，试证明：
已知：如图，BM是⊙O的切线，切点为M，BO交⊙O于点A，PA⊥BO交BM于点P，BO=3，⊙O的半径为1．