Question

已知：如图，BM是⊙O的切线，切点为M，BO交⊙O于点A，PA⊥BO交BM于点P，BO=3，⊙O的半径为1．
（1）求BM的长；
（2）证明：△OMB∽△PAB．

Answer 1

分析：（1）易知△OBM为直角三角形，在△OBM中用勾股定理求出BM的长．
（2）证明两角对应相等，可以证明两个三角形相似．

解答：解：（1）∵BM是⊙O的切线，M是切点，
∴OM⊥BM．
又∵BO=3，⊙O的半径为1，
在Rt△BOM中，
BM=

OB2-OM2

=

32-1

=2

2

．

证明：（2）在△OMB和△PAB中，
∵BM是⊙O的切线，
∴∠OMB=90°．
又∵PA⊥BO，
∴∠PAB=90°．
∴∠OMB=∠PAB．
又∵∠B=∠B，
∴△OMB∽△PAB．

点评：综合考查勾股定理及相似三角形的判定．要掌握这些基本性质和定理才能灵活运用，快速解题．