(本小题满分14分) 已知函数

（I）若 在其定义域是增函数，求b的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；

（III）设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

(本小题满分14分) 已知函数

（I）若 在其定义域是增函数，求b的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；

（III）设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）

设函数，其中．

( I )若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；

(Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；

(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，

使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

（本小题满分14分）
设函数，其中．
( I )若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；
(Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；
(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，
使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

（本小题满分14分）已知函数f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求证：对任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C₁，h(x)=-x²+bx的图象为C₂，若C₁与C₂相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C₁、C₂于M、N，问是否存在实数b，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？说明你的理由.