空间探测器从行星旁绕过，由于行星的作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称为“弹弓效应”。在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法。1989年10月发射的伽利略探测器就曾利用这种效应。土星的质量M=5.67×1026 kg ，以相对太阳的轨道速率u0=9.6 km/s 运行；伽利略空间探测器的质量为m=150 kg ，相对于太阳迎向土星的速率为v0=10.4 km/s ，由于“弹弓效应”探测器绕过土星后，沿与原来速度相反的方向离去，求它离开土星后相对于太阳的速率。

空间探测器从行星旁绕过时，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应”．在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法．

(1)如图所示的“弹弓效应”示意图：质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度飞向质量为M的行星，此时行星相对于太阳的速度为，绕过行星后，探测器相对于太阳的速度为v，此时行星相对于太阳的速度为u，由于m?M，、v、、u的方向均可视为相互平行，试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及始末状态总动能相等的方程；并在m?M的条件下，用和来表示v；

(2)若上述行星质量为的土星，其相对于太阳的轨道速率，而探测器的质量m=150kg，相对于太阳迎向土星的速度，则由于“弹弓效应”，该探测器绕过土星相对于太阳的速率将增为多大?

(3)若探测器飞向行星时其速度与行星的速度同向，则是否仍能产生“弹弓效应”?简要说明理由．

（18分）1957年第一颗人造卫星上天，开辟了人类宇航的新时代。四十多年来，人类不仅发射了人造地球卫星，还向宇宙空间发射了多个空间探测器。空间探测器要飞向火星等其它行星，甚至飞出太阳系，首先要克服地球对它的引力的作用。理论研究表明，由于物体在地球附近受到地球对它的万有引力的作用，具有引力势能。设质量为m的物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能表达式为E_P＝－，式中G是万有引力常量，M是地球的质量，r是该物体距地心的距离。

（1）试证明空间探测器的最小发射速度与它绕地球匀速运行的最大环绕速度相等。

（2）现有一个质量为m的空间探测器绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，已知球半径为R，地面附近的重力加速度为g。求该探测器做匀速圆周运动时的机械能（用m、g、R、T表示）；

（3）在（2）的情形下，要使这个空间探测器从运行轨道上出发，脱离地球的引力作用，至少要对它作多少功？