广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题(二) 命题人:东莞高级中学黄云秀 2009.4.10——青夏教育精英家教网——

广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题(二)

命题人：东莞高级中学黄云秀 2009.4.10

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则

A．M∩N = { 4，6 } B．M∪N = U C．(C_u N )∪M = U D．(C_u M )∩N = N

2．已知复数若为实数，则实数的值为

A． B． C． D．

3．已知等差数列的前13项之和为，则等于

．　　　　　．　　　　　．　　　　　．

4．设函数，把的图象向右平移个单位后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为

A． B． C． D．

5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：

①若，则； ②若，，则；

③若，则； ④若，则；

其中真命题的个数是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．设命题，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

8．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是

A． B．6 C． D．

（一）必做题（9~12题）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

9. 由曲线所围成的图形面积是 .

10. 与圆=1 相切，且在两坐标轴上截距相等

的直线共有_____________条．

11．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图

如下图所示，则它的体积的最小值为，最大

值为 .

12.2008年1号台风"浣熊"(NEOGURI)于4月19日下午减弱为热带低压后登陆阳江.如图，位于港口正东向海里处的渔船回港避风时出现故障.位于港口南偏西，距港口海里处的拖轮接到海事部门营救信息后以

海里小时的速度沿直线去营救渔船，则

拖轮到达处需要__________小时.

（二）选做题（13-15题，考生只能从中选做二题）

13. （坐标系与参数方程选做题）.在直角坐标系中，已知点，若以为极点，轴的正半轴为极轴，则点的极坐标可写为______.

14.（不等式选讲选做题）已知关于的不等式（是常数）的解是非空集合，则的取值范围是．

15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是

圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上

不与A、B重合的另一点，若∠ACB = 120°，

则∠APB = ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量

，且向量,共线．

（1）求角的大小；

（2）如果，求的面积的最大值．

17．（本小题满分12分）

东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．

（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；

（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；

（3）在满足（2）的情况下，求二面角G-AB-C的平面

角的正切值．

19．（本小题满分14分）

已知，其中是自然常数，

（1）讨论时, 的单调性、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分14分）

已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围．

21．（本题满分14分）

已知数列中，且点在直线上.

（1）求数列的通项公式；

（2）若函数求函数的最小值；

（3）设表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得

对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

东莞市2009届高三理科数学模拟试题(二)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B 2. D 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8. A.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 10. 4 11. （2分），（3分）

12. 13. 14. 15.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16.（本题满分10分）

解：（1）由向量共线有：

即， 4分

又，所以，

则=，即 6分

（2）由余弦定理得

则，

所以当且仅当时等号成立 10分

所以． 12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）由已知条件得

2分

即，则 6分

答：的值为．

（2）解：可能的取值为0，1，2，3 5分

6分

7分

8分

的分布列为：

0

1

2

3

10分

所以 12分

答：数学期望为．

18．（本小题满分14分）

解：(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

∴，∴；……1分

又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

同理可得 …………………………2分

∵，∴……3分

∵平面ABC，∴PA⊥BC. …………4分

(2) 如图所示取PC的中点G，…………………5分

连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点

又D、E分别为BC、AC的中点，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，……………7分

∴面ABG∥面DEF．

即PC上的中点G为所求的点． …………… 9分

(3)由(2)知G这PC的中点，连结GE，∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连结GH，则GH⊥AB，∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角． …………… 11分

∵ 又

∴ 又 …………… 13分

∴

∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为． …………… 14分

19．（本小题满分14分）

（1）， ……1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增 ……3分

∴的极小值为 ……4分

（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，……5分

令，， ……6分

当时，，在上单调递增 ……7分

∴

∴在（1）的条件下，……9分

（3）假设存在实数，使（）有最小值3， …9分

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值. ……10分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件. ……11分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.……14分

20．解（1）∵过（0，0）

则

又∵

将C点坐标代入得

解得 c²=8，b²=4

∴椭圆m： …………5分

（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）

1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分

2°当k≠0时，设

消y得

…………8分

由△>0 可得 ①………………9分

设

则

∴ …………11分

由

∴ ②

∴t>1 将①代入②得 1<t<4

∴t的范围是（1，4）………………13分

综上t∈（－2，4） ………………14分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由点P在直线上，

即，-----------------------------------------------2分

且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列

，同样满足，所以---------------4分

（2）

---------------------6分

所以是单调递增，故的最小值是----------------------8分

（3），可得，-------10分

，

……

，n≥2------------------12分

．

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．----14分