广东惠阳高级中学2008―2009学年度第二学期中段考高二理科数学试题本试卷分第I卷.第II卷两部分.共150分.考试时间120分钟.第I卷注意事项: 1.不可以使用计算器.2.考试结束.将答题卡交——青夏教育精英家教网——

广东惠阳高级中学2008―2009学年度

第二学期中段考高二理科数学试题

本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共50分）

注意事项： 1、不可以使用计算器。2、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则等于（）

A． B． C． D．

2. 复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 是（）

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数

4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（

5.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）

A． B． C． D．

6.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形

1 3 6 10 15

则第个三角形数为（）

A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

7.设，，n∈N，则（）

A. B.－ C. D.－

8.设，若函数，有大于零的极值点，则（）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题共110分）

二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）。

9. 设函数则的值为＝

10.已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于

11 ．设，则

12.设变量、满足约束条件，则的最大值为

13.某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有种不同选修方案。（用数值作答）

14.在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为、、，设棱锥底面上的高为，则

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

15. （本小题满分12分）在中，，．

（1）求的值；

（2）设，求的面积．

16．（本小题满分12分）设函数.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围.

17. （本小题满分14分）已知：正方体，，E为棱的中点．

(1) 求证：；(2) 求证：平面；

(3）求三棱锥的体积．

18. （本小题满分14分）已知是函数图象上一点，在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为 .

（1）求切线的方程及点的坐标；

（2）若，求的面积的最大值，并求此时的值.

19．（本小题满分14分）

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为x².记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.

（1）写出y与x的函数关系式;

（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

20. （本小题满分14分）设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.

（1）求，，；

（2）猜想{}的通项公式，并加以证明；

（3）设，，且，证明：≤

附加题

21.（本小题满分10分）(本题由试验班和重点班学生完成，所得分数作为参考，不计入总

分)

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

…………………………

21题图

设（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、

从左往右数第j个数. 数表中第行共有个正整数.

（1）若＝2010，求i、j的值；

（2）记N*),

试比较与的大小, 并说明理由.

广东惠阳高级中学2008-2009学年度

第二学期中段考高二年级数学（理科）试题（答卷）

题号

一

二

15

16

17

18

19

20

总分

得分

一：选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

二：填空题（每小题5分，共30分）

9__________________________, 10___________________________。

11__________________________, 12___________________________。

13__________________________, 14___________________________。

三：解答题（共80分）

15(本小题满分12分)

16(本小题满分12分)

17(本小题满分14分)

18(本小题满分14分)

19(本小题满分14分)

20(本小题满分14分)

21 附加题（本小题满分10分）(本题由试验班和重点班学生完成，所得分数作为参考，不计入总分)

广东惠阳高级中学2008-2009学年度

第二学期中段考高二年级数学（理科）试题（答案）

一：选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

D

A

D

B

C

B

二：填空题（每小题5分，共30分）

9: 2 10: 8 11: 12: 18 13: 75 14: 1/h² =1/a² +1/b²+1/c²

三、解答题：解：（1）由，得，

由，得．????????????????????????? 2分

所以．???????????? 6分

（2）由正弦定理得． 8分

所以的面积．??????? 12分

16．解：（1）……………………………2分

设的增区间，

的减区间.…………………………6分

（2）令：

∴x=0和x=－2为极值点，………………………………………………8分

……………………………11分

∴m＜0…………………………………………………………12分

17.1)证明：连结，则//， …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面． ………………3分

∵面，∴，

∴． …………………………………………4分

2）证明：作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴ ． ………6分

∵是的中点，∴，

又，∴．

∴四边形是平行四边形，//，

∵，，

∴平面面． …………………………………8分

又平面，∴面． ………………9分

（3）．　……………………………10分

． ……………………………14分

18.解: （1）∵ ，…………………………………… 2分

∴ 过点的切线方程为

即切线方程为：……………………4分

令，得，

即点的坐标为……………………6分

（2），

∴ …………………………………………9分

……………………………11分

由得，，

∴ 时，单调递增；时单调递减；………………13分

∴

∴ 当，面积的最大值为.……14分

19．解：1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元 …… 2分

月平均销售量为件，则月平均利润（元）……4分

y与x的函数关系式为 …… 6分

（2）令……8分

…… 10分

即函数在上单调递减，……12分

所以函数在取得最大值. …… 13分

答：改进工艺后当时，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大……14分

20.解：（1）分别令，2，3，得

∵，∴，，.………………………………………4分

（2）证法一：猜想：，………………………………………………………5分

由 ①

可知，当≥2时， ②

①-②，得，即.………………7分

1）当时，，∵，∴；……………8分

2）假设当（≥2）时，.

那么当时，

，

∵，≥2，∴，

∴.

这就是说，当时也成立，

∴（≥2）. 显然时，也适合.

故对于n∈N*，均有.………………………………………10分

证法二：猜想：，………………………………………………………5分

1）当时，成立；…………………………………………………6分

2）假设当时，.…………………………………………………7分

那么当时，.

∴，

∴

（以下同证法一）…………………………………………………………10分

（3）证法一：要证≤，

只要证≤，………………11分

即≤，…………………12分

将代入，得≤，

即要证≤，即≤1. …………………………13分

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分

证法二：∵，，且，

∴≤ ①

当且仅当时取“”号. …………………………………11分

∴≤ ②

当且仅当时取“”号. …………………………………12分

①+②，得

（）≤，

当且仅当时取“”号. ……………………………………13分

∴≤.………………………………………14分

证法三：可先证≤. ………………………………………11分

∵，

，≥，……………………………12分

∴≥，

∴≥，当且仅当时取等号. ………………13分

令，，即得

≤，

当且仅当即时取等号. ………………………14分

21:解：（1）数表中前行共有个数，

即第i行的第一个数是 …… 2分 ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11． …… 4分

令, 解得． …… 6分

（2）∵

． …… 7分

∴．

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, 猜想: . …… 11分

下面用数学归纳法证明猜想正确.

① 当时,, 即成立;

② 假设当时, 猜想成立, 即, 则,∵,

∴即当时，猜想也正确.

由①、②得当时, 成立当时,. …… 13分综上所述, 当时, ; 当时,. …… 14分另法( 证明当时, 可用下面的方法):

当时, C + C + C+ C