北京市崇文区2008―2009学年度高三第二学期统一练习(二)数学试题(理) 本试卷分第I卷和第II卷两部分.共150.考试时间120分钟.考试结束.将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷注意事项:——青夏教育精英家教网——

北京市崇文区2008―2009学年度高三第二学期统一练习（二）

数学试题（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题，共40分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试卷上.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．由实数，所组成的集合里，所含元素个数最多有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．设条件那么p是q的什么条件（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件

3．若，则的值是（）

A． B． C．- D．

4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

6．已知函数的单调递增区间为（）

A．（0，1） B．（-2，1）

7．如图，正三棱锥S―ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的

二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂

足为Q，PQ=PS?sinα，则动点P的轨迹为（）

A．线段 B．圆

C．一段圆弧 D．一段线段

8．已知是业义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数

满足：

，

考察下列结论：

①

②数列{a_n}为等比例数列；

③数列{b_n}为等差数列。

其中正确的结论是（）

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③

第Ⅱ卷（共110分）

20090508

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9．等比数列{a_n}中，已知则公比q= 。

10．已知又曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，它的虚轴长为2，且焦距是两准线间距离的2倍，则该双曲线的方程为。

。

12．正四棱形锥S―ABCD的5个顶点都在球O的表面上，

过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则

球O的表面积为。

13．已知实数x，y满足约束条件，

时取得最大值，则a的取值范围是。

14．定义“和常数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项和都为同一个常数，那么这个数列叫做常数列，这个常数叫做该数列的和常。已知数列{a_n}是和常数列，且，和常为5，那么的值为；若n为偶数，则这个数的前n项和S_n的计算公式为。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）

如图，是函数在同一个周期内的图像。

（I）求函数的解析式；

（II）将函数平移，得到函数

16．（本小题满分14分）

（I）证明：MN//平面ABC；

（II）求A₁到平面AB₁C₁的距离

（III）求二面角A₁―AB₁―C₁的大小。

17．（本小题满分13分）

某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换。

（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；

（II）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；

（III）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望。

18．（本小题满分13分）

如图，已知M是函数的图像C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值。

19．（本小题满分14分）

已知直线，抛物线，定点M（1，1）。

（I）当直线经过抛物线焦点F时，求点M关于直线的对称点N的坐标，并判断点N 是否在抛物线C上；

（II）当变化且直线与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线的对称点为Q（x₀，y₀），求x₀关于k的函数关系式；若P与M重合时，求的取值范围。

20090508

20．（本小题满分13分）

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；

②函数的导数满足”

（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

（II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

（III）设x₁是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的x₂，x₃，当时，有

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1―5 CACBB 6―8 DDA

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9． 10．

11． 12．

13． 14．

三、解答题：本大题共6小题共80-分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题共满分13分）

解：（I）由图知：，得A=2；

由A+B=3，得B=1；

设

将函数的图象向左平移，得

的图象，

则

……………………8分

（II）依题意：

当

此时x的取值集合为 …………………………13分

（I）证明：取AC中点F，连结MF，BF，

在三角形AC₁C中，MN//C₁C且

，

（II）设A₁到平面AB₁C₁的距离为h，AA₁⊥平面A₁B₁C₁

（III）三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，又点D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜边A₁B₁的中点。

则C₁D⊥A₁B₁

所以，；

平面A₁B₁BA内，过D作DE⊥AB₁，垂足为E，连结C₁E，则C₁E⊥AB₁_；

是二面角，A₁―AB₁―C₁的平面角，

在Rt

所以，二面角，A₁―AB₁―C₁的大小为 ………………14分

17．（本小题满分13分）

解：（I）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P₁，则

………………………………4分

（II）对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为，故所求概率为

………………………………8分

（III）的可能取值为0，1，2，3；

某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为

的分布列为

P

0

1

2

3

此分布为二项分布―N（3，0.6）

…………………………13分

18．（本小题满分13分）

解：

设M（m，4-m²），则过M点曲线C的切线斜率k=-2m。

…………………………6分

由x=0，得

由y=0，得

设△AOB的面积为S，则

令

当上为减函数；

当上为增函数；

…………13分

19．（本小题满分14分）

（I）由焦点F（1，0）在上，得……………………1分

设点N（m，n）则有：， …………………………3分

解得， ……………………5分

N点不在抛物线C上。 ………………………………7分

（2）把直线方程代入抛物线方程得：

解得。………………12分

当P与M重合时，a=1

20．（本小题满分13分）

解：（I）因为，又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0。

所以函数是的集合M中的元素。………………………………3分

（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根不妨设，根据题意存在数

使得等式成立。

因为

与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………8分

（III）不妨设

又因为为减函数，

所以

所以

所以

…………………………13分