宜春市2006年高考摸拟考试数学试卷——青夏教育精英家教网——

宜春市2006年高考摸拟考试

数学（文科）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．在等比数列{a_n}中，前n项的和为S_n，若S₃＝7，S₆＝63，则公比q的值是

　　A．2 B．－2 C．3 D．－3

2．直线＋y－2＝0截圆x²+y²=4所得的劣弧所对的圆心角为

　　A． B． C． D．

3．不等式｜x－a｜<1成立的充分不必要条件是<x<，则实数a的取值范围是

　　A．<a< B．≤a≤ C．a>或a< D．a≥或a≤

4．当f（x）＝3sinx＋4cosx取最大值时，tanx的值是

　　A． B． C． D．－

5．椭圆＝1的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A₁（点A₁在x轴负轴上）在平面B₁A₂B₂上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为

　　A．30° B．45° C．60° D．75°

6．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍中至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有

　　A．252种 B．112种 C．70种 D．56种

7．已知集合A＝{（x，y）｜x＋y＝1}，映射f：A→B，在f作用下点(x，y)的象是（2^x，2^y），象的集合恰是B，则集合B是

　　A．{（x，y）｜x＋y＝2，} B．{（x，y）｜xy＝1，x>0，y>0}

　　C．{（x，y）｜xy＝2，x<0，y<0} D．{（x，y）｜xy＝2，x>0，y>0}

8．在半径为10 cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB＝60°，则球心O到平面ABC的距离为

　　A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm

9．设O为△ABC所在平面内一点，若（＋）?＝（＋）?＝（＋）?，则O为△ABC的

　　A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

10．若在二项式（x＋3）¹⁰的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率为

　　A． B． C． D．

11．已知函数y＝f（x）存在反函数y＝f^－1（x），若y＝f（x－1）的反函数恰好为y=f ^-1（x－1），则下列结论正确的是

　　A．f（x）＝f（x－1） B．f（x）＝－f（x－1）

　　C．f（x）－f（x－1）＝1 D．f（x）－f（x－1）＝－1

12．规定：2阶行列式＝a₁b₂－a₂b₁，3阶行列式＝a₁－a₂+a₃，且已知＝3，则的值为

　　A．3 B． C.6 D.24

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案填在题中横线上.)

13.方程=1表示焦点在y轴且离心率为的椭圆，则m=______.

14.已知实数x，y满足时，(x-3)²+(y-2)²有最大值M，最小值m,则M+m=_____.

15.关于x的函数y=log_m²[(m²-2m)x]在区间(-∞，0)上为单调减函数，则m的取值范围为_______.

16.如果函数f(x)的定义域为R，对于m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)-6,且f(-1)是不大于5的正整数，当x>-1时，f(x)>0,那么具有这些性质的函数f(x)=_____.(注：填上你认为正确的一个函数即可，不必考虑所有可能的情形).

三、解答题(本大题共6小题，共74分。17-21题每题12分，22题14分。解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

(1)求角B的大小；

(2)若b=,a+c=4，求△ABC的面积.

18.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=(a_n+1)²，且a_n>0

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)令C_n=,求数列{C_n}的前n项的和T_n.

19.从1至20这20个正整数中取出三个不同的数，求

(1)取得的三数之和是3的倍数的概率；

(2)取得的三数之积是4倍的概率。

20.已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AA₁=a，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点

(1)求证：DE∥平面ABC；

(2)求二面角B₁-AF-B的大小；

(3)求三棱锥F-B₁AE的体积.

21.已知函数f(x) = -x³+ax²+b的图象上任意两点连线的斜率都小于1.

(1)判断函数g(x)=f(x)-x的单调性，并加以证明；

(2)求实数a的取值范围.

22.设x、y∈R,是直角坐标平面内x、y轴正方向的单位向量，若,

,且

(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；

(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在这样的直线l，使？若存在，求出l的方程；若不存在，试说明理由.

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

B

C

B

D

C

B

C

D

C

二、填空题

13. 14. 15.1<m<2 16.2x+6

三、解答题

17.(1)将正弦定量代入条件得： …………2分

即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0

2sinAcosB+sin(B+C)=0

由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0 …………4分

又sinA>0,∴cosB=-,又0<B<π，∴B= …………6分

(2)由余弦定理有：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac=(a+c)²-ac将b= ,a+c=4代入得ac=3

…………10分

∴S△ABC= …………12分

18.(1)由S_n=(a_n+1)²,且a_n>0,得a₁=S₁=(a₁+1)²,解得a₁=1_n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(a_n+1)²-(a_n_-1+1)²

(a_n-1)²-(a_n_-1+1)²=0, (a_n+a_n_-1)(a_n-a_n-1-2)=0

∴a_n-a_n-1-2=0, 即a_n-a_n_-1=2, ∴{a_n}是公差为2的等数列

∴a_n=2n-1 …………6分

(2)C_n=

T_n=

∴

∴T_n=1+1 …………12分

19.(1)20个数中有3的倍数6个，除以3余1的7个，余2的7个 …………2分

P₁= …………6分

(2)20个奇数有10个偶数有10个，其中5个是4的倍数。 …………8分

∴P₂=1 …………12分

20.(1)连结A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连BP由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，可证A₁E=EP，

∵D、E分别是A₁B、A₁P的中点，

∴DE∥BP

又BP面ABC，DE面ABC

∴DE∥平面ABC …………4分

(2)∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点

∴BC⊥AF

∵BB₁⊥平面ABC，∴B₁F⊥AF

∴∠B₁FB为二面角B₁-AF-B的平面角

在Rt△B₁BF中，∠B₁BF=90°，B₁B=a,BF=∴tan∠B₁FB=∴∠B₁FB=arctan …………8分

即二面β₁-AF-B的大小为arctan

(3)∵B₁F²=

∴B₁F²+EF²=B₁E²,∴B₁F⊥FE

由AF⊥BC，有AF⊥平面B₁BCC₁，即AF⊥平面B₁EF

∴V_F_-B1AE=V_A_-B1EF= …………12分

(注：用向量解法可参照给分)

21.证：(1)设f(x)上任意两点，A(x₁,f(x₁)), B(x₂,f(x₂))不妨令x₁>x₂

∵∴f(x₁)-f(x₂)<x₁-x₂

即f(x₁)-x₁<f(x₂-x₂)令g(x)=f(x)-x=-x³+ax²-x+b

∵当x₁>x₂时g(x₁)<g(x₂)

∵g(x)单调递减 ……………6分

(2)∴g(x)单调递减∴g′(x)≤0恒成立

∴-3x²+2ax-1≤0恒成立

∴△=4a²-12≤0

∴-≤a≤ ……………12分

22.(1)∵=(x,y+2) =(x,y-2)

||+||=8,∴=8

由椭圆定义知，M点轨迹是以(0，2)和(0，-2)为焦点的椭圆

∴ ……………6分

(2)∵l的斜率一定存在，设l：y=kx+3

(3k²+4)x²+18kx-21=0 ……………8分

设A(x₁，y₁),B(x₂,y₂)

∵ ∴OAPB为平行四边形

又∵

即OAPB为矩形 ∴ ∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0

∴-(1+k²)?

∴k²=∴k=±经检验k=±合题意.

∴存在直线l：y=±x+3 …………14分