新教材高考数学模拟题精编详解第四套试题
题号
一
二
三
总分
1～12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
分数
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．（理）全集设为U，P、S、T均为U的子集，若
（
）＝（）
则（ ）
A．
B．P＝T＝S
C．T＝U D．
＝T
（文）设集合
，
，若U＝R，且
，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2
C．m≤2 D．m≤2或m≤-4
2．（理）复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
（文）点M（8，-10），按a平移后的对应点
的坐标是（-7，4），则a＝（ ）
A．（1，-6） B．（-15，14）
C．（-15，-14） D．（15，-14）
3．已知数列
前n项和为
，则
的值是（ ）
A．13 B．-76 C．46 D．76
4．若函数
的递减区间为（
，
），则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．-1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
5．与命题“若
则
”的等价的命题是（ ）
A．若
，则 B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（理）在正方体
中，M，N分别为棱
和
之中点，则sin（
，
）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
（文）已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为
，1，
，则PS的长度为（ ）
A．9 B．
C．
D．3
7．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a被抽到的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（理）已知抛物线C：
与经过A（0，1），B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．
，
[3，
B．[3，
C．， D．[-1，3]
（文）设
，则函数
的图像在x轴上方的充要条件是（ ）
A．-1＜x＜1 B．x＜-1或x＞1
C．x＜1 D．-1＜x＜1或x＜-1
9．若直线y＝kx＋2与双曲线
的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．
，
B．
，
C．，
D．，
10．a，b，c
（0，＋∞）且表示线段长度，则a，b，c能构成锐角三角形的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．今有命题p、q，若命题S为“p且q”则“
或
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（理）函数
的值域是（ ）
A．[1，2] B．[0，2]
C．（0，
D．
，
（文）函数
与
图像关于直线x-y＝0对称，则
的单调增区间是（ ）
A．（0，2） B．（-2，0）
C．（0，＋∞） D．（-∞，0）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
答案
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上
13．等比数列的前n项和为
，且某连续三项正好为等差数列
中的第1，5，6项，则
________．
14．若
，则k＝________．
15．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．
16．长为l
0＜l＜1
的线段AB的两个端点在抛物线
上滑动，则线段AB中点M到x轴距离的最小值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为
．
（1）求的分布列；
（2）求E（5-1）．
18．（12分）如图，在正三棱柱
中，M，N分别为
，BC之中点．
（1）试求
，使
．
（2）在（1）条件下，求二面角
的大小．
19．（12分）某森林出现火灾，火势正以每分钟
的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火
，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁
20．（12分）线段
，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设
，
．
（1）求
的函数表达式及函数的定义域；
（2）（理）设
，试求d的取值范围；
（文）求y的取值范围．
21．（12分）定义在（-1，1）上的函数，（i）对任意x，
（-1，1）都有：
；（ii）当
（-1，0）时，
，回答下列问题．
（1）判断在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．
（2）判断函数在（0，1）上的单调性，并说明理由．
（3）（理）若
，试求
的值．
22．（14分）（理）已知Ｏ为△ABC所在平面外一点，且
a，
b，
c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示
．
（文）直线l∶y＝ax＋1与双曲线C∶
相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y＝0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．
1．（理）A （文）B 2．（理）B （文）B 3．B 4．A 5．D
6．（理）B （文）D 7．B 8．（理）C （文）D 9．D 10．D 11．C
12．（理）A （文）A 13．1或0 14．
15．10080° 16．
17．解析：（1）
的分布如下
0
1
2
P
（2）由（1）知
．
∴ 
．
18．解析：（1）以
点为坐标原点，
所在直线为x轴，
所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设
，
（a，
（0，＋∞）．
∵ 三棱柱
为正三棱柱，则
，B，
，C的坐标分别为：（b，0，0），
，
，
，，，
，（0，0，a）． ∴ 
，，，
，
，
．
（2）在（1）条件下，不妨设b＝2，则
，
又A，M，N坐标分别为（b，0，a），（
，
，0），（
，，a）．
∴ 
，
． ∴ 
同理 
．
∴ △
与△
均为以
为底边的等腰三角形，取中点为P，则
，
为二面角
的平面角，而点P坐标为（1，0，
），
∴ 
，
，
． 同理 
，，
．
∴ 
．
∴ ∠NPM＝90°
二面角的大小等于90°．
19．解析：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则
y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
＝125tx＋100x＋60（500＋100t）
＝
＝
＝
当且仅当
，即x＝27时，y有最小值36450．
故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．
20．解析：（1）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知
；
当A，B，C三点共线时，由
在线段BC外侧，由
或x＝5，因此，当x＝1或x＝5时，有
，
同时也满足：
．当A、B、C不共线时，
定义域为[1，5]．
（2）（理）∵ 
． ∴ d＝y＋x-1＝
．
令 t＝x-3，由
，
，
两边对t求导得：
关于t在[-2，2]上单调增．
∴ 当t＝2时，
＝3，此时x＝1． 当t＝2时，
＝7．此时x＝5．故d的取值范围为[3，7]．
（文）由且
，
，
∴ 当x＝3时，
．当x＝1或5时，
．
∴ y的取值范围为[
，3]．
21．解析：（1）令
，令y＝-x，则
在（-1，1）上是奇函数．
（2）设
，则
，而
，
．即 当
时，
．
∴ f（x）在（0，1）上单调递减．
（3）（理）由于
，
，
，
∴ 
．
22．解析：（理）由
平面
，连AH并延长并BC于M．
则 由H为△ABC的垂心． ∴ AM⊥BC．
于是 BC⊥平面OAHOH⊥BC．
同理可证：
平面ABC．
又 
，
，
是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数
，
，
使得
＝a＋b＋c．
由 
且
＝
＝0b
＝c， 同理
．
∴ 
． ①
又 AH⊥OH，
∴ 
＝0
②
联立①及②，得
③
又由①，得 
，
，
，代入③得：
，
，
，
其中
，于是
．
（文）（1）联立方程ax＋1＝y与
，消去y得：
（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点， ∴
．
又依题 OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（
，
），（
，
），则 
．
且 
，而由方程（*）知：
，
代入上式得
．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y＝ax＋1斜率a＝-2．又AB中点
，
在
上，则
，
又 
，
代入上式知 
这与
矛盾．
故这样的实数a不存在．