江苏省如皋市2009届高三第一次统一考试
数学试卷(文科)
一．填空题
１． 设集合
, 
, 则A∩B= ．
２．在等比数列
中，
，公比q是整数，则
= ．
３． 已知0<
, 则A与B的大小关系是 ．
４． 在数列
中，已知
，当
时，
，那么
．
５． 正数
满足
，则
的最小值为 __．
６． 已知数列
，
，且数列的前
项和为
，那么的值为__________．
７． 已知函数
的定义域是R，则实数k的取值范围是
_ ．
８． 等差数列的前15项的和为-5，前45项的和为30，则前30项的和为________．
９． 已知两个等差数列
的前n项的和分别为
，且
，则 
＝_ ．
10．若
是等差数列，首项
，
，则使前n项和
成立的最大正整数n是
．
11．． 若正数a、b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是 ．
12．
设
≥0，
≥0，且
，则
的最大值为____ __．
13．不等式
的解集是
．
14． 若不等式
对满足
的所有
都成立，则
的取值范围 ．
二．解答题
15．．（本题14分）设全集为R,集合A={ㄏ
(3-)
},B={ㄏ
},
求
．
16．设数列的前项和为
．已知
，
，
．
（Ⅰ）设
，求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
}的通项公式．
17．已知二次函数
的二次项系数为
，且不等式
的解集为
．
（Ⅰ）若方程
有两个相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围．
18．已知
, 若
在区间
上的最大值为
, 最小值为
, 令
．
(1)
求
的函数表达式；
(2) 判断的单调性, 并求出的最小值．
19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
，公园由长方形的休闲区
和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为
平方米，人行道的宽分别为
米和
米（如图）
（１）若设休闲区的长和宽的比
，求公园所占面积
关于的函数
的解析式；
（２）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？
20．已知函数
满足
．
（１）求
的值；
（２）若数列
，求数列
的通项公式；
（３）若数列满足
，是数列前项的和，是否存在正实数
，使不等式
对于一切的
恒成立？若存在指出的取值范围，并证明；若不存在说明理由．
一、．填空题
1．设集合
, 
, 则A∩B=
2． 在等比数列
中，
，公比q是整数，则
= ―128
3．
已知0<
, 则A与B的大小关系是 A<B
4．在数列
中，已知
，当
时，
，那么
.
5． 正数
满足
，则
的最小值为
__
6． 已知数列
，
，且数列的前
项和为
，那么 的值为______99____
7． 已知函数
的定义域是R，则实数k的取值范围是 _
8． 等差数列的前15项的和为-5，前45项的和为30，则前30项的和为___5_____
9． 已知两个等差数列
的前n项的和分别为
，且
，则 
＝_
_
10．若
是等差数列，首项
，
，则使前n项和
成立的最大正整数n是 4006
11．若正数a、b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是 
12．设
≥0，
≥0，且
，则
的最大值为____
__
13．不等式
的解集是
或
__
14．若不等式
对满足
的所有
都成立，则
的取值范围（
,
）_
二．解答题
15．（本题14分）设全集为R,集合A={ㄏ
(3-)
},B={ㄏ
},
求
．
解：A=[-1,3) ……3分
, B=(-2,3] ……6分
[-1,3)
……9分
……14分
16．（本题14分）设数列的前项和为
．已知
，
，
．
（1）设
，求数列
的通项公式；
（2）求数列{
}的通项公式．
解：（1）依题意，
，即
， ……3分
由此得
．
……6分
因此，所求通项公式为
，．
……8分
（2）由①知
，，
于是，当
时，
，
……12分
13分
……14分
17．（本题15分）已知二次函数
的二次项系数为
，且不等式
的解集为
．
（1）若方程
有两个相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求的取值范围．
解：（1）设
由得
它的解集为（1，3）得方程
的两根为1和3且a<0
即
……（1）
……3分
有等根得
……（2）
……6分
由(1)(2)及
得
故的解析式为
……8分
（2）由
及
……10分
由
……12分
解得 
……15分
18．（本题15分）已知
, 若
在区间
上的最大值为
, 最小值为
, 令
．
(1) 求
的函数表达式；
(2) 判断的单调性, 并求出的最小值．
解：(1) 函数的对称轴为直线
, 而
∴
在
上
……3分
①当
时，即
时，
……5分
②当2
时，即
时，
……7分
……8分
(2)
．
……15分
19．（本题16分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
，公园由长方形的休闲区
和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为
平方米，人行道的宽分别为
米和
米（如图）
（1）若设休闲区的长和宽的比
，求公园所占面积
关于的函数
的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？
解：（1）设休闲区的宽为米，则其长为
米，
∴
，
∴
…8分
（2）
，当且仅当
时，公园所占面积最小，
……14分
此时，
，即休闲区的长为
米，宽为
米。……16分
20．已知函数
满足
．
（1）求
的值；
（2）若数列
，求数列
的通项公式；
（3）若数列满足
，是数列前项的和，是否存在正实数
，使不等式
对于一切的
恒成立？若存在指出的取值范围，并证明；若不存在说明理由．
解：（1）令
，
，
，
……2分
令
，
……5分
（2）∵
①
∴
②
由（Ⅰ），知
∴①+②，得
…… 10分
（3）∵ ，∴ 
∴
， ①
，
②
①－②得
即
…… 12分
要使得不等式恒成立，即
对于一切的恒成立，
设
当
时，由于对称轴直线
，且 
，而函数在
是增函数，∴不等式
恒成立
即当实数大于时，不等式对于一切的恒成立 ……16分