南昌市2008-2009学年度高三测试卷数学(3)——青夏教育精英家教网——

南昌市2008-2009学年度高三测试卷数学（3）

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则是　　　　　（　）

A．　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.

2．（文）在数列{}中，若，且对任意的有，则数列前15项的和为（）

A． B．30 C．5 D．

(理) 若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 ( )

A. B.13 C. D. -6

3．若，则下列不等关系中不能成立的是（）

A． B． C． D．

4.设分别是的三个内角所对的边，若的（　　）

　A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既不充分也不必要条件；

5.设，，是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )

A 当时，若，则∥

B 当时，若，则

　 C 当，且是在内的射影时，若，则

　 D 当，且时，若，则

6．设的展开式的各项系数之和为M，而二项式系数之和为N，且M－N=992。则展开式中x²项的系数为（）

A．150 B．－150 C．250 D．－250

7．将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（）

A．15 B．18 C．30 D．36

8．（文）已知=（2cosα，2sinα）， =（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线

xcosα－ysinα+=0与圆(x－cosβ)²+(y+sinβ)²=1的位置关系是（）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

(理)统计表明，某省某年的高考数学成绩，现随机抽查100名考生的数学试卷，则成绩超过120分的人数的期望是（）

（已知）

A. 9或10人 B. 6或7人 C. 3或4人 D. 1或2人

9．

1,3,5

A．8　　　　 B．10　　　　 C．12　　　　 D．14

10.已知,则当m+n取得最小值时，椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

11.关于函数有下列命题：

①的最大值是；②是以为最小正周期的周期函数；

③在区间上是减函数；

④将函数的图象向左平移个单位后，与已知函数的图象重合．

其中正确命题的序号是（）

A．①②③ B．①② C．②③④ 　　D．①②③④

12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（）

A． B． C． D．

二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在题中的横线上。

13．.某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有

1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200

辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下的

频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站

的汽车中车速度不小于90km/h 的约有

辆（注：分析时车速均取整数）。

14. (文)已知平面上三点A、B、C满足1，则

的值等于 .

（理）已知函数在R上连续，则 .

15．设命题,命题,若命题是命题的必要不充分条件,则r的最大值为 .

16．如图，正方体，则下列四个命题：

①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；

②在直线上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；

③在直线上运动时，二面角的大小不变；

④M是平面上到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是过点的直线

其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共六道小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）18.已知向量=（sinB，1－cosB)，且与向量 = （2，0）所成角为，其中A、B、C是△ABC的内角．

（Ⅰ）求角Ｂ的大小；

（Ⅱ）求sinA + sinC的取值范围．

18．（本小题满分12分）(文科做)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且大于0的概率为.（Ⅰ）求文娱队的人数；（Ⅱ）写出的概率．

(理科做)某中学开展“创建文明城市知识竞赛”活动，竞赛题由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，要求学生在规定时间内通过笔试完成，且每道题必须选出一个选项(不得多选或不选)，每道题选正确得6分。已知学生甲对任一道题选择正确的概率为；学生乙由于未作准备，因此只能从每道题的4个选项中随机地选择1个.

(Ⅰ)若选错得0分，比较甲得66分的概率与乙得54分的概率的大小；

(Ⅱ)为防止个别学生像乙那样随机地作出选择，学校决定对每道选择错误的倒扣若干分，但倒扣太多对学生不公平，倒扣太少又达不到杜绝乱选的目的，倒扣的分数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获，换句话说，如果学生每道题都随机选择，那么他20道题所得总分的数学期望应该是0.问:对每道题选择错误应该倒扣多少分比较合适?

19．（本小题满分12分）正四面体A-BCD的棱长为1，（Ⅰ）如图(1)M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（Ⅱ）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图(2)，求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若将图(1)与图(2)面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积。

20．（本小题满分12分）（文科）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，

满足：－(y＋3ax)＋(x³－1)＝0．

（Ⅰ）求函数y＝f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a＝1时，求证：直线4x＋y＋m＝0不可能是函数y＝f(x)图象的切线．

（理科）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足：－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝.（Ⅰ）求函数y＝f(x)的表达式；（Ⅱ）若x＞0，证明：f(x)＞；

（Ⅲ）若不等式x²≤f(x²)＋m²－2bm－3时，x∈[－1，1]及b∈[－1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知椭圆是抛物线的一条切线。

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

22． (本小题满分14分）(文科做)已知曲线过上的点作曲线的切线交轴于点，再过作轴的平行线交曲线C于点，再过作曲线C的切线交轴于点，再过作轴的平行线交曲线C于点，…，依次作下去，记点的横坐标为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，设数列的前项和为，求证：.

( 理科做)定义在(0，＋∞)的函数f(x)＝，其中e＝2.71828……是自然对数的底数，a∈R.

(Ⅰ)若函数f(x)在点x＝1处连续，求a的值；

(Ⅱ)若函数f(x)为(0，1)上的单调函数，求实数a 的取值范围，并判断此时函数f(x)在

(0，＋∞)上是否为单调函数；

(Ⅲ)当x∈(0，1)时，记g(x)＝lnf(x)＋x²－ax，试证明：

对n∈N^*，当n≥2时，有－＜nk＝1－n.

一、选择题：每小题5分，共60分．

BDCBB DCBCB AA

二、填空题：每小题４分，共16分．

13. 300 14.（文），（理）3。 ⒖ ⒗①③④.

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）∵ =（sinB，1－cosB) , 且与向量=（2，0）所成角为

∴ ，∴ tan = ，又∵ 0<B<p Þ 0< < ，

∴ = ，∴ B = 。

（Ⅱ）由（1）可得A + C = ，

∴， 8分

∵，∴， 10分，∴，

，当且仅当。 12分

18.(文科))解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人． (I)∵，∴．

即,∴．∴x=2．故文娱队共有5人．(8分)

(II) .(12分)

(理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正确11题)的概率为,……2分

乙得54分(正确9题)的概率为,……4分

显然，即甲得66分的概率与乙得54分的概率一样大. ……6分

(Ⅱ)设答错一题倒扣x分，则学生乙选对题的个数为随机选择20个题答对题的个数的期望为,得分为,

,令,得,

即每答错一题应该倒扣2分 ……12分

19．解：（Ⅰ）取BD中点N.连AN、MN. 就是异面直线AM与BC所成的角，在中，（4分）

（Ⅱ）取BE中点P.连AP、PM,作于过作于连MH. ，，即AB 的平面角，在AMP中，

在ABP中，

二面角的大小，为（8分）

（Ⅲ）若将图(1)与图(2)面ACD重合，该几何体是5面体

这斜三棱柱的体积=3V_A-BCD=3´´´= （12分）

20．（文科） (Ⅰ) 　∵－(y＋3ax)＋(x³－1)＝0，∴＝(y＋3ax)－(x³－1)

∴(y＋3ax)＋[－(x³－1)]＝1，即y＝f(x)＝x³－3ax………………………2分

∴f^/(x)＝3x²－3a＝3(x²－a)…………………………………………………4分

　　　　当a≤0时，f^/(x)＝3(x²－a)≥0对x∈R恒成立，f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)

　　　　当a＞0时，f^/(x)＞0，x＜－或x＞

f^/(x)＜0得－＜x＜…………………………………………6分

　　　　此时，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函数，

在(－，)上是减函数……………………………………8分

　　　　(Ⅱ)∵a＝1，∴f^/(x)＝3x²－3，直线4x＋y＋m＝0的斜率为－4………………9分

　　　　　假设f^/(x)＝－4，即3x²＋1＝0无实根

　　　　∴直线4x＋y＋m＝0不可能是函数f(x)图象的切线………………………………12分

（理科）(Ⅰ)∵－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f ^/(1)]－ln(x＋1)

由于A、B、C三点共线　即[y＋2f ^/(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分

∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f ^/(1)

f ^/(x)＝，得f ^/(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)－，由g^/(x)＝－＝

∵x＞0，∴g^/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分

　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0

即f(x)＞………………………………………………………………8分

　　　（Ⅲ）原不等式等价于x²－f(x²)≤m²－2bm－3

　　　　令h(x)＝x²－f(x²)＝x²－ln(1＋x²)，由h^/(x)＝x－＝…………………10分

当x∈[－1，1]时，h(x)_max＝0，∴m²－2bm－3≥0

令Q(b)＝m²－2bm－3，则

得m≥3或m≤－3……………12分

21.解：（I）由

因直线相切，故所求椭圆方程为（II）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：由

即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。

当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

若直线L不垂直于x轴，可设直线L：

由

记点、

∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.

22．(文科)解：（I）∵. ∴曲线在点处的切线l_n的斜率为.

∴切线l_n的方程为. （2分）

令得，∴.

依题意点在直线上，∴ 又. （4分）

∴数列是1为首项，为公比的等比数列. ∴. （5分）

（Ⅱ）由已知.

∴. ①

. ②

①―②得

. （9分）

∴ （10分）

又时，.

又当时，. ∴.∴当时，.

∴ ∴. （13分）综上. （14分）

22．(理科)解： (Ⅰ)∵f(1)＝1，∴f(x)＝e^a^－1＝1 ∴a＝1 ……2分

(Ⅱ) x∈(0，1)时，f(x)＝xe，

f＇(x)＝e＋xe(－2x＋a)＝(－2x²＋ax＋1)e,……3分

f＇(x)≥0，

∵t（0）＝1∴－2x²＋ax＋1＞0在(0，1)恒成立Þ t (1) ≥0Þa ≥1……4分

∴当a≥1时，f(x)在(0，1)上是增函数； ……5分

又当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)也是单调递增的； ……6分

当a＞1时，∵＝e^a^－1＞1=f(1)，此时，f(x)在(0，＋∞)不一定是增函数.…… 7分

(Ⅲ)当x∈(0，1)时，g(x)＝lnf(x)＋x²－ax＝lnx，当n≥2时，

欲证：－＜nk＝1－n，

即证－1－2－3－……－(n－1)＜ln＜1＋＋＋……＋－n
即需证

－1－2－3－……－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n
猜想1－＜lnt＜t－1(其中0＜t＜1).……8分

构造函数h(t)＝lnt－1＋(0＜t＜1)
∵h＇(t)＝－＝＜0，∴h(t)在(0，1)上时单调递减的，

∴h(t)＞h（1）=0，即有lnt＞1－……10分

设s(t)＝lnt－t＋1(0＜t＜1)，

同理可证s(t)＜0，∴1－＜lnt＜t－1(0＜t＜1)成立 ……12分

分别取t＝，，……，(n≥2)，所得n－1个不等式相加即得：

－1－2－3－…－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n

∴－＜nk＝1－n ……14分