2009年高考实战模拟数学（理）试题
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
C
A
D
B
A
D
C
A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13. 
；14. [3，243]； 15. 
；
16.
三、解答题（共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：（Ⅰ）解法一：∵
、
、
∴
，
.
由
得：
，
即
. ∵
∴
.
………5分
解法二：∵ ∴点在线段
的中垂线上，即在直线
上，故
∵ ∴.
………5分
（Ⅱ）
………6分
由
得：
即 
………7分
∵
， ∴
………8分
∴
解得：
∴ 
………9分
∴
………10分
18. 解： （Ⅰ）记“该大学生通过第一轮笔试”为事件A，
“该大学生通过第二轮面试”为事件B，
“该大学生通过第三轮试用”为事件C。
则
那么该大学生未进入第三轮考核的概率是
………6分
（或
………6分
（Ⅱ）
的可能取值为1，2，3.
P(=1)=P(
)=1-P(A)=
P(=2)=P(
)=P(A)(1-P(B))=
P(=3)=
或P(=3)= 
………9分
的数学期望
………11分
的方差
………12分
19. 解法一：
（Ⅰ）依题意，
在平面
内移动 ………2分
在正方体
中,
∴
同理
∴
平面
∴
………4分
（Ⅱ）连接
，过
做
平面
，
垂足为
，∵
∥
∴在
上；过作
于
，连接PF，则
为
二面角
的一个平面角。
………6分
在
中，
，因为
，所以
。
∴为的中点 ∴
为
的中点。
即为的中点时，二面角的正切值为
。
………9分
（Ⅲ）连接
，在三棱锥
中，
，设到平面
的距离为
，则有：
………11分
，
∴
即到平面的距离为
………12分
解法二：以
为原点，建立空间直角坐标系，如图所示。所以
（
）
（Ⅰ）
∴ ………4分
（Ⅱ）由题意可得，
为平面的一个法向量，设
为平面
的一个法向量，则
即
，令z=1，解得：
所以
∴
解得 
或
（舍去）
∴为的中点时，二面角的正切值为。 ………9分
（Ⅲ）由题意可得：
，则
，
为平面的一个法向量，所以到平面的距离为：
即到平面的距离为
………12分
20. 解：（Ⅰ）依题意可设双曲线
的渐近线方程为
，即
∵该直线与圆
相切
∴双曲线的两条渐近线方程为
………2分
故设双曲线的方程为
，
又∵双曲线的一个焦点与
关于直线对称
∴ 双曲线的一个焦点为
∴
∴
，
∴双曲线C的方程为
………4分
（Ⅱ）设
、
由题设知直线的方程为
由
得
………6分
由题意知：
解得
………9分
坐标原点到直线距离为
………10分
∵ ∴
∴坐标原点到直线的距离的取值范围是
………12分
21. 解：
（Ⅰ）设
的公比为
，依题意
，
，
……
，（
）．
将以上各式相加，得
（）． ………4分
所以当时，
上式对
显然成立．
………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），当
时，显然
不是
与
的等差中项，故
．………7分
当时由
可得
，∵
∴
， ①
整理得
，解得
或
（舍去）．于是
．………9分
∵
，
由①可得
∴ 
，
．
所以对任意的，
是
与
的等差中项． ………12分
22. 解：（Ⅰ）∵
∴ 
∴
是以2为最小正周期的周期函数
……… 2分
又是定义在R上的偶函数，则
∴
又∵2.5∈[2,3]，∴
∴
……… 4分
（Ⅱ）设
，则
，
∴
∴当时函数的解析式为
，……… 6分
此时
∴
∴曲线
在点
处的切线方程为：
整理得
……… 8分
（Ⅲ） 设
时则
，所以
∴时函数的解析式为
∴
时函数的解析式为 ……… 8分
设点的坐标为
（其中
，则点
，所以矩形的面积为
……… 9分
令
解得：
时，
，函数
递增
时，
，函数递减
∴函数在时有最大值
＝
即矩形ABCD面积的最大值为
……… 12分
注：以上解答仅供参考，另有解法，酌情给分。