2009年高考实战模拟数学（文）试题
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
A
C
A
C
D
B
D
B
C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13. 
； 14. 3； 15. 
； 16. 
三、解答题（共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解：（Ⅰ）解法一：∵
、
、
∴
，
.
由
得：
，
即
. ∵
∴
.
…………………5分
解法二：∵ ∴点在线段
的中垂线上，即在直线
上，故
∵ ∴.
…………………5分
（Ⅱ）由
得：
.
即
…………………6分
∵
， ∴
…………8分
∴
即
∴
………………10分
18. 解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于
（Ⅰ）6种添加剂中任取两种芳香度之和等于4的取法有2种：
、
，
故
。
………………………6分
（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：
；芳香度之和等于2的取法有1种：
，故
。
………………………12分
19. 解法一：
（Ⅰ）依题意，
在平面
内
………………………2分
在正方体
中,
∴
同理
∴
平面
∴
………………………………………6分
（Ⅱ）连接
，过
做
平面
，垂足为
，∵
∥
∴在
上；过作
于
，连接PF，则
为二面角
的一个平面角。 ………………8分
在
中，
，因为
，
所以
。
∴为的中点 ∴
为
的中点。
即为的中点时，二面角的正切值为
。 ……………………12分
解法二：以
为原点，建立空间直角坐标系，如图所示。所以
（
）
（Ⅰ）
∴ …………………………………6分
（Ⅱ）由题意可得，
为平面
的一个法向量，设
为平面
的一个法向量，
则
…………………7分
即
，令z=1，解得：
…………………8分
所以
……10分
∴
解得 
或
（舍去）
∴为的中点时，二面角的正切值为。 …………………12分
20. 解：(Ⅰ)根据题设条件，
.设点
则
、
满足
∴可解得
， …………………3分
∴
由
得
于是
.
∴所求双曲线方程为
.
…………………6分
（Ⅱ）设
是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是
和
. 则点到两条渐近线的距离分别为：
，
…………………8分
∴
.
故点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. …………………12分
21. 解（Ⅰ）由题意知
当
=1时，
当
两式相减得
（
）
整理得：
（） ……………………………………………4分
∴数列
是
为首项，2为公比的等比数列.
……………………………………5分
（Ⅱ）
∴
……………………………………6分
∴
①
②
①－②得
………………9分
…………………………11分
∴
…………………………12分
22. 解：（Ⅰ）
， 而
∴
∵
有三个根
∴ 
∴ 
由
得
，即
∴
……………………………4分
（Ⅱ）
∴
∴
…………………………8分
（Ⅲ）
∴ 
∴ 
又∵ ∴ 
当且仅当
时，
取最小值，此时
…………………………………………12分
注：以上解答仅供参考，另有解法，酌情给分。