2009届高考倒计时数学冲刺阶段每日综合模拟一练(4)——青夏教育精英家教网——

2009届高考倒计时数学冲刺阶段每日综合模拟一练（4）

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合, 则

A． B． C． D．

2．等差数列中，，则公差

A．1 B．2 C． D．

3．已知向量ab，则a与b的夹角等于

A． B C． D．

4．函数的反函数是

A． B．

C． D．

5．在中,“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知四面体，平面，是棱的中点，

，则异面直线与所成的角等于

A． B．

C． D．

7．函数图象的一个对称中心是

A． B． C． D．

8．已知函数的导函数是,且则曲线在处的切线方程是

A．y=3x+5 B．y=3x+6 C．y=2x+5 D．y=2x+4

9．椭圆的离心率的取值范围是

A．（） B．（） C．（） D．（）

2,4,6

A．240个 B．480个 C． 96个 D．48个

11．已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对（是A．（5，10） B．（6，6） C．（10，5） D．（7，2）

12．对于抛物线上任意一点，点都满足，则实数的最大值是

A．0 B．1 C．2 D．4

二、填空题：本大题共14小题.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．

13．已知集合，若，则a的值是 .

14．在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于。

15．已知向量．若向量，则实数的值是．

16．若均为锐角，则。

17．已知满足约束条件，则的最大值是______________.

18.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为。

19．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为

20．函数的单调递减区间是 .

21．已知，则的值为____________

22．△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量，若则角C的大小为

23．数列满足，则。 24．若方程的解为，则大于的最小整数是

25．设函数在处取极值，则=

26．已知关于的函数.如果时,其图象恒在x轴的上方,则的取值范围是 _

三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程并演算步骤。

27、已知函数f(x)= +2sin2x

（1）求函数f(x)的最大值及此时x的值；

（2）求函数f(x)的单调递减区间。

28、四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）

纪念币

A

B

C

D

概率

1/2

1/2

a

a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。

（1）求概率p(ξ)

（2）求在概率p(ξ)，p（ξ=2）为最大时，a的取值范围。

（3）求ξ的数学期望。

29、如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）

（1）求证AP∥平面EFG；

（2）求二面角G-EF-D的大小；

（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明。

30、在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P（x,y），M（，0），若实数λ使向量，λ，满足λ2?（）2=

（1）求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；

（2）当λ=时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使ΔA1BC为正三角形（请说明理由）。

31、已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。

（1）讨论f(x)的单调性。

（2）证明：（1+）（1+）…（1+）＜e （n∈N*，n≥2,其中无理数e=2.71828…）

32、已知函数与函数的图像关于直线对称．

（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；

（2）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；

（3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．

一、选择题：

1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．A 9．D 10．A 11．A 12．C

二、填空题：

13． 14． 26 15．－3 16． 17． 3 18．

19． 20．(0，1) 21． 22． 23．765 24．5

25．2 26．

三、解答题：

27、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx，则=4cos2x-3=2cos2x-1

∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x

=2sin(2x+)-1

在2x+=2kπ+时，f(x)取得最大值2-1

即在x=kπ+ (k∈Z)时，f(x)取得最大值2-1

（2）∵f(x)=2sin(2x+)-1

要使f(x)递减，x满足2kπ+≤2x+≤2kπ+

即kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z)

又∵cosx≠0，即x≠kπ+ (k∈Z)

）

28、解：（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。

∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2

p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)= (1-a)

p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2? a2=(1+2a-2 a2)

p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a2=

p(ξ=4)= ()2 a2=a2

(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

则p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)- =－≥0

由

，即a∈[]

（3）由（1）知ξ的数学期望为

Eξ=0×（1-a）2+1× (1-a)+2× (1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1

29、解：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理

∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG

（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC

∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD

过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知

∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，

故二面角G-EF-D的大小为45°。

（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC

在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ

30、解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),

∵2（）2=?，∴2（x2-9）=x2-9+y2,

即P点的轨迹方程（1-2）x2+y2=9（1-2）

当1-2＞0，且≠0，即∈（-1，0）时，有+=1，

∵1-2＞0，∴＞0，∴x2≤9。

∴P点的轨迹是点A1，（-3，0）与点A2（3，0）

当=0时，方程为x2+y2=9，P的轨迹是点A1（-3，0）与点A2（3，0）

当1-2＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，方程为-=1，P点的轨迹是双曲线。

当1-2=0，即=±1时，方程为y=0，P点的轨迹是射线。

（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,

当=时，曲线方程为+=1，

由（1）知，其轨迹为点A1（-3，0）与A2（3，0）

因直线过A1（-3，0），但不过A2（3，0）。

所以，点B不存在。

所以，在直线x=-9上找不到点C满足条件。

31、解：（理）（1）f′(x)=－+a=

(i)若a=0时，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0

∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。

（ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。

∴f(x)在R上单调递减。

(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜

由f′(x)＜0可得x＞或x＜

∴f(x)在[，]单调递增

在（-∞，]，[上单调递减。

综上所述：若a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。

（2）由（1）当a=－1时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递减。

当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)

∴ln（1+x2）－x＜0 即ln（1+x2）＜x

∴ln[（1+）（1+）……(1+)]

=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+

＜=1-+-+…+=1-＜1

∴（1+）（1+）……(1+)＜e

32、解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以，

，（2）因为点在函数的图像上，所以，

在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为： ①

（3）直线的方程为：，，

在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，

=，结合①式可得： ②

由①可知：当自然数时，，，

两式作差得：．

结合②式得： ③

在③中，令，结合，可解得：，

又因为：当时，，所以，舍去，得．

同上，在③中，依次令，可解得：，．

猜想：．下用数学归纳法证明．

（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．

（2）假设时命题成立，即，则由③式可得：

把代入上式并解方程得：

由于，所以，，所以，

符合题意，应舍去，故只有．

所以，时命题也成立．

综上可知：数列的通项公式为