2008届广州执信中学.中山纪念中学.深圳外国语学校三校联考理科数学试题本试卷试题部分4页.答题卷部分4页.共8页.21小题.满分150分.考试时间为120分钟．——青夏教育精英家教网——

2008届广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校

三校联考理科数学试题

本试卷试题部分4页，答题卷部分4页，共8页，21小题，满分150分，考试时间为120分钟．

一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）

1．设全集U=R，A={x∈N?1≤x≤10}，B={ x∈R?x²+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（）

A．{2} B．{3}

C．{－3，2} D．{－2，3}

2．已知命题p: xR，cosx≤1，则（）

A． B． x∈R，cos x≥1

C． D． x∈R，cos x＞1

3.若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的

值为（）

A、-6 B、13 C. D.

4.若的展开式中的系数是80，则实数的值

是　（）

A．-2　　 B. 　C. 　D. 2

5、给出下面的程序框图，那么输出的数是（）

A．2450 B. 2550 C. 5050 D. 4900

1,3,5

若点是该目标函数的最优解，则a的取值范围是（）

C． D．

7．若函数的图象在x=0处的切线l与圆

C: 相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是（）

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定

8．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）

A． 0 B．1 C． D．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上）.

9．由曲线所围成的封闭图形的面积为_________

10．在平面直角坐标系xoy中已知△ABC的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B在双曲线的左支上，

11．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……

试用 n表示出第n个图形的边数 .

12、三位同学在研究函数 f (x) = (x∈R) 时，分别给出下面三个结论：
① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1)
② 若x₁≠x₂，则一定有f (x₁)≠f (x₂)
③ 若规定 f₁(x) = f (x)，f_n₊₁(x) = f [ f_n(x)]，则 f_n(x) = 对任意 n∈N^*恒成立. 你认为上述三个结论中正确的个数有

▲选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。

　13、如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O，弦 CD 交 PA 于点F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，则PF = 。

14、极坐标系中，点P到直线：的距离是　　　　．

15、不等式的解集是

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本小题满分14分）在中，已知内角，边.设内角,面积为.

(1) 求函数的解析式和定义域；

(2) 求的最大值.

17．（本小题满分12分）

旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率

（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.

（3）求选择甲线路旅游团数的期望.

18．（本小题满分12分）

如图，直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点.

（1）求二面角O₁－BC－D的大小；

（2）求点E到平面O₁BC的距离.

19．（本小题满分14分）

设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分14分）

设函数

（Ⅰ）求函数的极值点；

（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；

（Ⅲ）证明：

21、（本小题满分14分）

已知函数的图象经过点和，记

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求的最小值；

（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.

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三校联考理科数学答题卷

二、填空题：（本大题共须作6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上）

9、 10、 11、

12、 13、 14、

15、

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16、

17、

18

19、

20、

21、

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一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

A

D

A

B

B

B

二、填空题：（本大题共须作6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上）.

9、 10、 11、 12、3

▲选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。

　13、3 ；14、。　　； 15、

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本小题满分14分）解：（1）的内角和

…………………1分

……………5分

…………………7分

（2）……………9分

…………12分

当即时，y取得最大值 ………………………14分

17．（本小题满分12分）

解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P₁=…………3分

（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P₂=……6分

（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………7分

P（ξ=0）= P（ξ=1）=

P（ξ=2）= P（ξ=3）= ………………9分

∴ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

………………10分

∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=………………12分

18．（本小题满分12分）

（1）过O作OF⊥BC于F，连接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁－BC－D的平面角，………………3分

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=.

在Rt△O₁OF在，tan∠O₁FO=

∴∠O₁FO=60° 即二面角O₁―BC―D为60°………………6分

（2）在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位线，∴OE∥O₁C

∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交线O₁F.

过O作OH⊥O₁F于H，则OH是点O到面O₁BC的距离，………………10分

解法二：（1）∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，………………2分

建立如图所示的空间直角坐标系（如图）

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O₁（0，0，3）………………3分

设平面O₁BC的法向量为=（x，y，z），

则⊥，⊥，

∴，则z=2，则x=－，y=3，

∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）………………5分

∴cos<，>=，

设O₁－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.

故二面角O₁－BC－D为60°. ………………6分

（2）设点E到平面O₁BC的距离为d，

∵E是O₁A的中点，∴=（－，0，），………………9分

则d=∴点E到面O₁BC的距离等于。……………12分

19．（本小题满分14分）解：易知 …………2分

设P（x，y），则

………………4分

，

，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 ……6分

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k

直线l的方程为 ……………………8分

由方程组

依题意 …………10分

当时，设交点C，CD的中点为R，

则

又|F₂C|=|F₂D|

…………13分

∴20k²=20k²－4，而20k²=20k²－4不成立，所以不存在直线，使得|F₂C|=|F₂D|

综上所述，不存在直线l，使得|F₂C|=|F₂D| …………14分

20．（本小题满分14分）解：（1），

…………2分

当上无极值点 …………3分

当p>0时，令的变化情况如下表：

x

(0，)

+

0

－

ㄊ

极大值

ㄋ

从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 ………………7分

（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，

要使恒成立，只需， ∴

∴p的取值范围为[1，+∞ …………………10分

（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，

∴，

∴ …………11分

∴

…………12分

∴结论成立 …………………14分

21、解：（1）由题意得，解得，………………2分

………………4分

（2）由（1）得， ①

② ①-②得

. ，………………6分

设，则由得随的增大而减小时，又恒成立，………………9分

（3）由题意得恒成立

记，则

………………12分

是随的增大而增大

的最小值为，，即. ………………14分