2007年高考数学试题分类汇编（导数）
(18) (安徽理 本小题满分14分)
设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－
(20)(安徽文 本小题满分14分)
设函数
f（x）=-cos2x-4tsin
cos+4t2+t2-3t+4,x∈R,
其中
≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
19．（北京理 本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．
（I）求面积以
为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
19．（共13分）
解：（I）依题意，以的中点
为原点建立直角坐标系
（如图），则点
的横坐标为．
点的纵坐标
满足方程
，
解得
，
其定义域为
．
（II）记
，
则
．
令
，得
．
因为当
时，
；当
时，
，所以
是
的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为
．
即梯形面积的最大值为
．
9．(北京文)
是
的导函数，则
的值是 3 ．
11．（福建理、文）已知对任意实数，有
，且
时，
，则
时（ B
）
A． B．
C．
D．
22．（福建理 本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若
，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，求证：
．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得
，所以
．
由得
，故的单调递增区间是
，
由得
，故的单调递减区间是
．
（Ⅱ）由
可知
是偶函数．
于是对任意成立等价于
对任意
成立．
由
得
．
①当
时，
．
此时在
上单调递增．
故
，符合题意．
②当
时，
．
当变化时
的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，
．
依题意，
，又
．
综合①，②得，实数的取值范围是
．
（Ⅲ）
，
，
，
由此得，
故
．
20．（福建文 本小题满分12分）
设函数
．
（Ⅰ）求的最小值
；
（Ⅱ）若
对
恒成立，求实数
的取值范围．
20．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）
，
当
时，取最小值
，
即
．
（Ⅱ）令
，
由
得
，
（不合题意，舍去）．
当
变化时
，
的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在
内有最大值
．
在内恒成立等价于
在内恒成立，
即等价于
，
所以的取值范围为
．
20．(广东理、文 本小题满分14分)
已知
是实数，函数
．如果函数
在区间
上有
零点，求的取值范围．
20解: 若
, 
,显然在上没有零点, 所以 
令 
得 
当 
时, 
恰有一个零点在
上;
当 
即 
时, 也恰有一个零点在上;
当 在上有两个零点时, 则
或
解得
或
因此的取值范围是 
或 
;
12．（广东文）函数
的单调递增区间是
．
12. 
10．（海南理）曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
21．（海南理 本小题满分12分）
设函数
（I）若当
时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于
．
21．解：
（Ⅰ）
，
依题意有
，故
．
从而
．
的定义域为
，当
时，；
当
时，；
当
时，．
从而，分别在区间
单调增加，在区间
单调减少．
（Ⅱ）的定义域为
，
．
方程
的判别式
．
（?）若
，即
，在的定义域内，故的极值．
（?）若
，则
或
．
若
，
，
．
当
时，，当
时，，所以无极值．
若，
，
，也无极值．
（?）若
，即
或
，则有两个不同的实根
，
．
当时，
，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，
，
，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在
取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为
．
的极值之和为
．
10．（海南文）曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
19．（海南文 本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间
的最大值和最小值．
19．解：的定义域为．
（Ⅰ）
．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间
，
单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为
．
又
．
所以在区间的最大值为
．
20．（湖北理 本小题满分13分）
已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线，
有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示
，并求的最大值；
（II）求证：
（）．
20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与
在公共点
处的切线相同．
，
，由题意
，
．
即
由
得：
，或
（舍去）．
即有
．
令
，则
．于是
当
，即
时，
；
当
，即
时，
．
故在
为增函数，在
为减函数，
于是在
的最大值为
．
（Ⅱ）设
，
则
．
故
在
为减函数，在
为增函数，
于是函数在上的最小值是
．
故当时，有
，即当时，
．
13．（湖北文）已知函数的图象在点
处的切线方程是
，则
＿＿＿＿．
19．（湖北文 本小题满分12分）
设二次函数
，方程
的两根
和
满足
．
（I）求实数的取值范围；
（II）试比较
与
的大小．并说明理由．
19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令
，
则由题意可得
．
故所求实数的取值范围是
．
（II）
，令
．
当时，
单调增加，当
时，
，即
．
解法2：（I）同解法1．
（II）
，由（I）知，
．又
于是
，
即
，故
．
解法3：（I）方程
，由韦达定理得
，
，于是
．
故所求实数的取值范围是．
（II）依题意可设
，则由，得
，故．
13．（湖南理）函数
在区间
上的最小值是 ．
19．（湖南理 本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点
和居民区的公路，