海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（理科） 2008.1
学校 班级 姓名
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符
（2）函数y=cos（4x+
）的图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）在边长为
的正三角形ABC中，设
=c，
=a，
=b，则a?b＋b?c＋c?a等于
（ ）
（A）－3 （B）0 （C）1 （D）3
（4）设i为虚数单位，则（1+i）4展开式中的第三项为 （ ）
（A）4i （B）－4i （C）6 （D）－6
（5）设m、n是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：
①若∥，∥γ，则∥ ②若⊥，m∥，则m⊥
③若m⊥，m∥，则⊥ ④若m∥n，n?α，则m∥α
其中真命题的序号是 （ ）
（A）①④ （B）②③ （C）②④ （D）①③
（6）已知A（0，b），B为椭圆
+
=1（a>b>0）的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知函数f（x）=
（x≥1），
（x）为f（x）的反函数，则函数y=|x|与y=（-x）在同一坐标系中的图象为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数y=f（x）是定义在［a,b］上的增函数，其中a，b∈R，且0<b<－a.设函数F（x）=［f（x）］2-［f（-x）］2，且F（x）不恒等于0，则对于F（x）有如下说法：
①定义域为［-b，b］ ②是奇函数 ③最小值为0 ④在定义域内单调递增其中正确说法的个数有 （ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
（9）双曲线
-
=1的一个焦点到一条渐近线的距离是 .
（10）在△ABC中，A+C=2B，BC=5，且△ABC的面积为10，则B= ;
AB= .
（11）已知函数f（x）=则不等式f（x）<0的解集为 .
（12）设不等式组所表示的平面区域为S，则S的面积为 ；若A，
B为S内的两个点，则｜AB｜的最大值为 .
（13）已知P，A，B，C是以O为球心的球面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的半径为 ；球心O到平面ABC的距离为 .
（14）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是 个.把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第 个数.（用数字作答）
（15）（本小题共12分）
已知向量a=（cosx+2sinx,sinx），b=（cosx-sinx,2cosx），设函数f（x）=a?b.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合.
（16）（本小题共14分）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N.
（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM;
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小；
（Ⅲ）求证：平面SAC⊥平面AMN.
（17）（本小题共12分）
某城市有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取了4个家庭.
（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；
（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；
（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅的概率.
（18）（本小题共14分）
已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.
（Ⅰ）求抛物线S的方程；
（Ⅱ）若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上的两个动点，且满足OP⊥OQ.试说明动直线PQ是否过定点.
（19）（本小题共14分）
设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a>0）的两个极值点.
（Ⅰ）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=
，求b的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=
当x2=a时，求证：
|g（x）|≤
a（
（20）（本小题共14分）
已知定义在R上的函数f（x）满足:f（1）=
，且对于任意实数x，y，总有
f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立.
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）定义数列{an}:an=
（Ⅲ）若对于任意的非零实数y，总有f（y）＞2.设有理数x1，x2满足：|x1|＜|x2|，判断f（x1）和f（x2）的大小关系，并证明你的结论.
海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（理科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
B
B
A
D
D
C
A
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）
（9）2 （10）
,8 （11）（-∞,-1）∪（-1,1） （12）16,
（13）
（14）204,53
三、解答题（本大题共6小题,共80分.）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）由已知可得
f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx…………………………1分=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx
=cos2x+3sinxcosx-2sin2x
=
（1+cos2x）+
sin2x+（cos2x-1）
=（sin2x+cos2x）-=
sin（2x+
）－…………………6分
由
-
<2x+
<+得：
-
<x<+
…………………8分
即函数f（x）的单调递增区间为（-,+）（k∈Z）.…………9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有f（x）=sin（2x+）－,∴f（x）max=
.…10分
所求x的集合
.…………………………………12分
（16）（共14分）
方法一：
（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME. ……………………………………1分
∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点.∵M是SD的中点,∴ME是△DSB的中位线.
∴ME∥SB. ……………………………………………………………………2分
又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM,………………………………………3分
∴SB∥平面ACM. ……………………………………………………………4分
（Ⅱ）解：取AD中点F，则MF∥SA.作FQ⊥AC于Q,连结MQ. ……………5分
∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD.
∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影.
∵FQ⊥AC,∴MQ⊥AC.
∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角.……………………………………7分
设SA=AB=a,在Rt△MFQ中，MF=SA=
,FQ=DE=
,
∴tanFQM=
=
.
∴二面角D-AC-M的大小为arctan.……………………………………9分
（Ⅲ）证明：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD.∴AM⊥DC.…10分
又∵SA=AD,M是SD的中点，∴AM⊥SD.
∴AM⊥平面SDC.………………………………………………………11分
∴SC⊥AM.
由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.
又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………14分
方法二：
解：（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz,5分
由SA=AB,故设AB=AD=AS=1,则A（0，0，0），B（0，1，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（，0，）.
∵SA⊥底面ABCD，
∴
是平面ABCD的法向量，=（0，0，1）.
设平面ACM的法向量为n=（x，y，z），
=（1，1，0），
=（，0，），………………7分
令x=1，则n=（1，-1，-1）.………………………………………………………8分
∴cos<，n>=
=
=
.
∴二面角D-AC-M的大小为arccos
.…………………………………………9分
（Ⅲ）∵=
，
=（-1，-1，1），…………………………………………10分
∴?=
=0.
∴⊥.…………………………………………………………………………12分
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN.又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN. ……………………………………………………………14分
（17）（共12分）
解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A，……1分
P（A）=
（0.3）3（0.7）=0.0756………………………………………………4分
答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为0.0756.
（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B，………………5分
P（B）=1-（0.6）4=1-0.1296=0.8704………………………………………………8分
答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为0.8704.
（Ⅲ）设“这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅”的事件为C，………9分
因为有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30%.
所以P（C）=
（0.3）2（0.7）2=0.2646………………………………………12分
答：这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅的概率为0.2646.
注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30%，后面计算有误，给到10分.
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）设抛物线S的方程为y2=2px. …………………………………………………1分
由
可得2y2+py-20p=0.……………………………………………………3分
由Δ>0，有p>0，或p<-160.
设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=
,
∴x1+x2=（5-
）+（5-
）=10-
=10+
…………………………………5分
设A（x3，y3），由△ABC的重心为F（
，0），则
，
，
∴x3=
-10，y3=.
∵点A在抛物线S上，∴
=2p（
）.∴p=8.…………………………6分
∴抛物线S的方程为y2=16x. …………………………………………………………7分
（Ⅱ）当动直线PQ的斜率存在时，
设PQ的方程为y=kx+b，显然k≠0，b≠0. ………………………………………8分
设P（xp，yp），Q（xQ，xQ），
∵OP⊥OQ，∴kOP?kOQ=-1.
∴
?
=-1，∴xPxQ+yPyQ=0.
…………………………………………………10分
将y=kx+b代入抛物线方程，得ky2-16y+16b=0，∴yPyQ=
.
从而xPxQ=
=
，∴
=0.
∵k≠0，b≠0，∴b=-16k，∴动直线方程为y=kx-16k=k（x-16）.
此时动直线PQ过定点（16，0）.…………………………………………………12分
当直线PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又OP⊥OQ，
∴△POQ为等腰直角三角形.
由
得到P（16，16），Q（16，-16）.
此时直线PQ亦过点（16，0）.……………………………………………………13分
综上所述，动直线PQ过定点M（16，0）.………………………………………14分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a>0），∴
（x）=3ax2+2bx-a2（a>0）………1分
依题意有
，∴
.……………………………2分
解得
∴f（x）=6x3-9x2-36x.…………………………………………………4分
（Ⅱ）∵
=3ax2+2bx-a2（a>0）
依题意，x1，x2为方程=0的两个根，且|x1|+|x2|=
，
∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8.
∴
∴b2=
∵b2≥0，∴0<a≤6.……………………………………………………………………6分
设p（a）=
（a）=-
由（a）>0得0<a<4，由（a）<0得a>4.
即函数p（a）在区间（0，4）上是增函数，在区间［4，6］上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，∴p（a）在（0，6］上的最大值是96.
∴b的最大值为4
.…………………………………………………………………9分
（Ⅲ）证明：∵x1，x2是方程的两根，
∴＝
∵x1?x2=-
，x2=a，∴x1=-
.
∴|g（x）|=|）（x-a）-a（x+）|=|a（x+）[3（x-a）-1]|
∵x1<x<x2，即-<x<a.
∴|
|=a（x+）（-3x+
∴||=-）（x-
）=-
+
+a2+
≤+a2+=
.……………………………………………………14分
∴||≤
成立.
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）令x=1，y=0∴f（1）f（0）＝f（1）+f（1）.
∵f（1）=
，∴f（0）=2…………………………………………………………1分
令x=0，∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即
∴f（y）=f（-y），对任意实数y总成立，∴f（x）为偶函数.……………………3分
（Ⅱ）令x=y=1，得f（1）f（1）=f（2）+f（0）.
∴
=f（2）+2.
∴f（2）=
.
∴a1=
=6.…………………………………………………5分
令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）.
∴f（n+2）=f（n+1）-f（n）.…………………………………………………6分
∴an+1=f（n+1）-f（n）］-f（n+1）
=
∴{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列.…………………………………9分
（Ⅲ）结论:f（x1）<f（x2）.
证明：设y≠0，
∵y≠0时，f（y）>2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）>
∴对于k∈N，总有f［（k+1）y］-f（ky）>f（ky）-f［（k-1）y］成立.
∴f［（k+1）y］-f（ky）>f（ky）-f［（k-1）y］>f［（k-1）y］-f［（k-2）y］
>…>f（y）-f（0）>0.
∴对于k∈N总有f［（k+1）y］>f（ky）成立.
∴对于m，n∈N，若n<m，则有f（ny）<…<f（my）成立.
∵x1，x2∈Q，所以可设|x1|=
，|x2|=
，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数,
则|x1|=
,|x2|=
.
令y=
，t=q1p2，s=p1q2，则t，s∈N.
∵|x1|<|x2|，∴t<s.∴f（ty）<f（sy），即f（|x1|）<f（|x2|）.
∵函数f（x）为偶函数，∴f（|x1|）=f（x1），f（|x2|）=f（x2）;
∴f（x1）<f（x2）.…………………………………………………………14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.