福建省实验中学2008年4月高三质量检查试卷数学理科 2008.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分.考试时间120分钟.参考公式:如果事件A.B互斥.那么P如果事件A.B相互独——青夏教育精英家教网——

福建省实验中学2008年4月高三质量检查试卷

数学理科 2008.4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分.考试时间120分钟.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数z满足=

A． B． C． D．

2．函数的图象

A．关于x轴对称 B．关于直线对称

C．关于原点对称 D．关于直线对称

3．已知非零向量

A． B．2 C． D．1

4．若互不相等的实数a,b,c成等差数列，ca,ab,bc成等比数列，且

A．－8 B．4 C．－4 D．8

5．在正四面体P―ABC中，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

6．“”是“函数在区间上为增函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知上的增函数，那么a的取值范围是

A．（1，+） B．（－，3） C． D．（1，3）

8．袋中有60个小球，其中红色球24个、蓝色球18个、白色球12个、黄色球6个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为

A． B．

C． D．

9．在区间[－1，3]上的最大值是

A．－2 B．0 C．2 D．

20080422

A． B． C． D．

11．若多项多

A．509 B．510 C．511 D．1022

12．如图，M是以A、B为焦点的双曲线右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上.

13．已知的最小值是 .

14．从依次标着数字0，1，2，3的六张号码牌中不放回地随机选取两张，这两张号码牌的数字之和的数学期望E= .

15．如图，A、B、C分别为椭圆的顶点与焦点，若∠ABC=90°，则该椭圆的离心率为 .

16．对于函数定义域中任意的

① ②；

③ ④

当时，上述结论中正确结论的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知函数

（1）求的定义域；

（2）已知的值.

18．（本小题满分12分）如图，P―ABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=

（1）求证：PD⊥平面ABC；

（2）求二面角P―AB―C的大小；

（3）求AB的中点E到平面PBC的距离.

19．（本小题满分12分）某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售数量将减少mx%，其中m为正常数.

（1）当时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？

（2）如果涨价能使销售总金额增加，求m的取值范围.

20．（本小题满分12分）已知上不相同的两个点，l是弦AB的垂直平分线.

（1）当+取何值时，可使抛物线的焦点F与原点O到直线l的距离相等？证明你的结论；

（2）当直线l的斜充为1时，求l在y轴上截距的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为且对任意正整数n都有

（1）求数列的通项公式.

（2）设

22．（本小题满分14分）已知

（1）若函数是R上的增函数，求a的取值范围；

（2）若的单调增区间。

一、选择题

20080422

二、填空题

13．2 14．3 15． 16．①③④

三、解答题

17．解：（1）……………………3分

由得

故……………………6分

（2）因为

故

………………9分

……………………12分

文本框: 18．方法一：

（1）证明：连结BD，

∵D分别是AC的中点，PA=PC=

∴PD⊥AC，

∵AC=2，AB=，BC=

∴AB²+BC²=AC²，

∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.…………2分

∴BD=，

∵PD²=PA²―AD²=3，PB

∴PD²+BD²=PB²，

∴PD⊥BD，

∵ACBD=D

∴PD⊥平面ABC.…………………………4分

（2）解：取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DE//BC，

∵AB⊥BC，

∴AB⊥DE，

∵DE是直线PE的底面ABC上的射景

∴PE⊥AB

∴∠PED是二面角P―AB―C的平面角，……………………6分

在△PED中，DE=∠=90°，

∴tan∠PDE=

∴二面角P―AB―C的大小是

（3）解：设点E到平面PBC的距离为h.

∵V_P―EBC=V_E―PBC，

∴……………………10分

在△PBC中，PB=PC=，BC=

而PD=

∴

∴点E到平面PBC的距离为……………………12分

方法二：

（1）同方法一：

（2）解：解：取AB的中点E，连结DE、PE，

过点D作AB的平行线交BC于点F，以D为

DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则D（0，0，0），P（0，0，），

E（），B=（）

设上平面PAB的一个法向量，

则由

这时，……………………6分

显然，是平面ABC的一个法向量.

∴

∴二面角P―AB―C的大小是……………………8分

（3）解：

设平面PBC的一个法向量，

由

得

令是平面PBC的一个法向量……………………10分

又

∴点E到平面PBC的距离为………………12分

19．解：（1）由题设，当价格上涨x%时，销售总金额为：

（2）

即……………………3分

当

当x=50时，

即该吨产品每吨的价格上涨50%时，销售总最大.……………………6分

（2）由（1）

如果上涨价格能使销假售总金额增加，

则有……………………8分

即x>0时，

∴

注意到m>0

∴ ∴ ∴

∴m的取值范围是（0，1）…………………………12分

20．解（1）由已知，抛物线，焦点F的坐标为F（0，1）………………1分

当l与y轴重合时，显然符合条件，此时……………………3分

当l不与y轴重合时，要使抛物线的焦点F与原点O到直线l的距离相等，当且仅当直线l通过点（）设l的斜率为k，则直线l的方程为

由已知可得即………5分

解得无意义.

因此，只有时，抛物线的焦点F与原点O到直线l的距离相等.……7分

（2）由已知可设直线l的方程为……………………8分

则AB所在直线为……………………9分

代入抛物线方程………………①

∴的中点为

代入直线l的方程得：………………10分

又∵对于①式有：

解得m>－1，

∴

∴l在y轴上截距的取值范围为（3，+）……………………12分

21．解：（1）在………………1分

∵

∴

当两式相减得：

即

整理得：……………………3分

∴

当时，，满足上式，

∴

（2）由（1）知

则………………8分

∴

……………………10分

∴…………………………12分

22．解：（1）…………………………1分

∵是R上的增函数，故在R上恒成立，

即在R上恒成立，……………………2分

令

…………3分

由

故函数上单调递减，在（－1，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减。…………………………5分

∴当

又的最小值………………6分

∴亦是R上的增函数。

故知a的取值范围是……………………7分

（2）……………………8分

由

①当a=0时，上单调递增；…………10分

可知

②当

即函数在上单调递增；………………12分

③当时，有，

即函数在上单调递增。………………14分