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湖北黄冈中学
2009届高三年级期末考试
数学试题（理科）
一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数
的一个增区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
，
，若
与
共线，则
等于 （ ）
A．
； B．
C．
D．
3．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．或 D．
4．设
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则使得
都成立的
取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．由下列条件解△ABC，其中有两解的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．若向量
两两的夹角相等，且满足
，则
（ ）
A．
B．或
C．
D．或
8．已知两不共线向量
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
与
的夹角等于
C．
D．与在
方向上的投影相等
9．已知
是定义在
上的二次函数，
，若
的值域是
，则的值域是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．关于的不等式
的解集为 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．不等式
的解集为____________．
12．函数
图象的相邻的两个对称中心的距离是__________．
13．等差数列
中，
，则此数列的前
项的和等于___________．
14．如图，半圆的直径
，
为圆心，
为半圆
上不同于
的任意一点，若
为半径
上的动点，
则
的最小值是__________．
15．若对任意的
，不等式
总成立，则实数
的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知
，且
．
（1）若
为
的三内角，当
取得最小值时，求；
（2）当
时，将函数的图象按向量
平移后得到函数
的图象，求出所有满足条件的向量．
17．（本小题满分12分）
数列的前
项和为
且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列
的各项均为正数，其前项和为
，
，又
成等比数列，求．
18．（本小题满分12分）
（1）设是正实数，求证：
；
（2）若
，不等式是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．
19．（本小题满分12分）
定义
的“倒平均数”为
，已知数列
项的“倒平均数”为
（1）记
，试比较
与
的大小；
（2）是否存在实数
，使得当
时，
恒成立？若存在,求出最大的实数；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分13分）
甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数
，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于
万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．
（1）若
，
，试解释它们的实际意义；
（2）设
，
，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
21．（本小题满分14分）
已知定义在
的函数同时满足以下三条：①对任意的
，总有
；②
；③当
时，总有
成立．
（1）函数
在区间上是否同时适合①②③？并说明理由；
（2）假设存在
，使得
且
，求证：
．
1―5 BCDAB 6―10 CDBCB
11．
12．
13．13 14．
15．
16．（1）
由题，
或
，
或
， 又
，
故
或
．
（2）当
时，
，
按向量
平移后得到函数
的图象，故
．
17．（1）当
时，
，即有
又
，
是公比为3的等比数列，且
，故
．
（2）由（1），
，又
，
依题
成等比数列，有
，
解得
或
，因
的各项均为正数，
，故
．
18．（1）证明：
是正数，由重要不等式知，
故
（当
时等号成立）．
（2）若
，不等式
仍然成立．
证明：由（1）知，当
时，不等式成立；当
时，
，
而
此时不等式仍然成立．
19．（1）记数列
的前
项和为
，则依题有
，故
故数列的通项为
．故
，易知，
．
（2）假设存在实数
，使得当
时，
对任意
恒成立，
则
都成立，
20．（1）
表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；
表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.
（2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，
依题意，当且仅当
成立．
故
，则
，得
故
即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元的宣传费用．
21．（1）显然
，在[0，1]满足①
；满足②
；
对于③，若
，
则
．故
适合①②③．
（2）由③知，任给
时，当
时，
由于
，
所以
若
，则
前后矛盾
若
，则
前后矛盾
故
得证．